§ 7. Нелинейные колебания

Рассмотрим простой пример: продольные колебания прямого стержня с малой нелинейной добавкой в соотношениях упругости

Если левый конец закреплен, а правый свободен, то и

Периодические колебания в подобных случаях могут быть найдены методом Пуанкаре (§ 7.3). Решение ищем в виде

Перепишем (7.1) для нового времени обозначая теперь

На первом шаге получим линейную задачу о свободных колебаниях. В общем случае ее решение есть сумма главных колебаний. Но начальные условия будем предполагать такими, что останется лишь одна форма:

Амплитуда а пока произвольна, формы при удовлетворяют условию

На втором шаге из (7.3) получим

Это — уравнение вынужденных колебаний при нагрузке Решение (с учетом граничных условий) можно представить в виде разложения по формам

В правой части (7.7) — периодическая функция с периодом где — собственная частота рассматриваемой моды (формы) — пусть Решение и, будет периодическим лишь при отсутствии в первой гармоники:

Отметим одну тонкость: в общем случае зависимости выглядит сложнее, чем в (7.7). Задача для и, содержит не только распределенную нагрузку но и заданную силу на свободном конце и в (7.7) должно быть дополнительное слагаемое Но предполагается нечетной, тогда

Подставив (7.6) в (7.7) и (7.8), получим (с учетом

Здесь лишь первое из уравнений (7.8), второе удовлетворяется тождественно. Итоговое соотношение (7.9) определяет зависимость т. е. связывает частоту колебаний с амплитудой.

При рассматриваемых граничных условиях

тогда в простейшем случае кубической нелинейности будем иметь

Подобные зависимости могут быть интересны в связи с экспериментами по определению нелинейностей, так как сдвиг в частоте измерить проще, чем отклонение статической характеристики от линейной.

Рассмотренный пример иллюстрирует методику, применимую и в более сложных случаях нелинейных колебаний упругих тел.

Библиография

Методы решения динамических задач теории упругости представлены в книгах Л.И. Слепяна [90] и В. Б. Поручикова [84]. О линейных колебаниях можно прочесть у В.Л. Бидермана [9], С. П. Тимошенко, Д. Х. Янга и У. Уивера [100], И. М. Бабакова [3], В. Т. Гринченко и В.В. Мелешко [26]. Асимптотические проблемы колебаний оболочек освещены у А.Л. Гольденвейзера, В. Б. Лидского, П. Е. Товстика [21] и В.В. Болотина [12]. Неклассические модели в динамике тонких тел — тема обзора Э. И. Григолюка и И. Т. Селезова [25]. Линейные волны описаны в книгах Г. И. Кольского [39] и И.И. Артоболевского, Ю.И. Бобровницкого и М. Д. Генкина [2]. Нелинейные волны представлены во многих книгах — Дж. Уизема [104], Ю.К. Энгельбрехта и У.К. Нигула [116] и других.