§ 11. Оболочки вращения
Разберемся в геометрии поверхности вращения (рис. 29). Меридиан можно задать зависимостью декартовых координат в меридиональной плоскости от длины дуги
Положение самого меридиана на поверхности вращения определяется углом 
Рис. 29
Полагая 
получим базовое представление
и сразу отметим:
Для ортов касательной и нормали к меридиану (в его плоскости) имеем
Заметим, что к — это кривизна меридиана, а 
параллели. Соберем вместе деривационные формулы:
Построим далее базисы, оператор Гамильтона и метрические тензоры:
Теперь рассмотрим дифференцирование вектора 
Слагаемые в квадратных скобках — это 
Подчеркнута комбинация 
Из (11.6) ясен вид тензора 
Легко раскрывается и выражение поворота 
Осталось расписать дивергенцию тензоров:
Соотношений (11.6) — (11.8) достаточно, чтобы записать всю систему в компонентах 
строится подобно 
но через 
В осесимметричной задаче компоненты не зависят от 
уравнения становятся обыкновенными. Изначально равны нулю и 
уравнения покажут, что обращаются в нуль и 
Сводка нетривиальных равенств такова:
Из уравнений баланса сил вытекает первый интеграл
это необходимое условие равновесия части оболочки между двумя параллелями.
Систему (11.9) можно свести к двум уравнениям для перемещений 
Особенности расчета оболочек вращения с различной формой меридиана (конических, сферических, торообразных и др.) очень хорошо освещены в литературе [8, 111].
