§ 7. Определение КИН как самостоятельных неизвестных

Расчет прочности тела с трещиной сводится к определению коэффициентов интенсивности (КИН). Методы расчета как аналитические, так и численные — хорошо освещены в литературе. Рассмотрим еще один подход к задачам механики трещин, разработанный автором вместе с Е. А. Кабо.

Если в обычной постановке фигурируют то в предлагаемой новой к ним добавляются КИН как самостоятельные неизвестные. Постановка является вариационной, соответствующий функционал возникает из обычного выражения потенциальной энергии.

Антиплоская деформация. Этот случай хорош как иллюстрация метода. Область содержит трещину, выходящую на границу (рис. 49). Коэффициент в вершине является главной неизвестной. Воздействиями служат силы в области и на границе а также заданные на границе перемещения . В положении равновесия минимальна энергия представим ее следующим образом:

Рис. 49

В области мы выделили малую часть у вершины (с границей С), уже справедливы асимптотические формулы (2.3), из них взята функция по ним вычисляется запасенная в энергия деформации Слагаемое в условии на контуре С — это не зависящая от координат трансляция.

Проварьируем функционал (7.1):

Из равенства вытекают обычные уравнения баланса сил в и на а также соотношения

служащие для определения как самостоятельных неизвестных.

Принцип минимума функционала (7.1) отличается от классического принципа Лагранжа и требует обоснования. Используя равенства

убеждаемся в справедливости (7.2). Вид второй вариации

свидетельствует о минимуме функционала.

Рассмотрим аналитический тест. Внешняя граница окружность радиусом на ней задано Трещина — луч Решение очевидно: Симметрия подсказывает, что трансляция на фронте . В качестве вспомогательной внутренней границы С возьмем окружность радиусом Минимизируя при фиксированном неизвестном К, получим

превращается в функцию ее минимизация дает точное решение Результат не зависит от X, что не удивительно, ибо точное решение совпадает с асимптотическим.

Более сложные тесты, рассмотренные Е. А. Кабо и С. Г. Орловым с помощью метода конечных элементов, выявили эффективность предлагаемой методики расчета КИН. Эта методика позволяет учитывать сингулярность на фронте без использования специальных элементов вычислительной механики трещин [79].

В постановке (7.1) на вспомогательном внутреннем контуре С задаются перемещения. Другая постановка связана с заданием напряжений:

функция берется из асимптотической формулы Вариационное уравнение эквивалентно системе, содержащей не только обычные соотношения в и на но и равенства

Справедливость этих равенств выясняется при подстановке в них асимптотических выражений.

Функционал не имеет минимума (из-за минуса перед ). Этот его недостаток не играет роли при построении точных решений — например, методом суперпозиции. Сначала решаем две обычные задачи:

Далее полагаем

отсюда находим К.

Суперпозиция проходит и в постановке с но там требуется еще одно решение для “обслуживания” трансляции

Интегральные соотношения (7.2) и (7.6) вызывают ассоциации с -интегралом. Наши интегралы зависят от контура С, но зато обобщаются на пространственную задачу — об этом далее.

Пространственная задача. Трещина — это разрез на поверхности 2 с контуром Аналогом малой области выделяемой в двумерной

Рис. 50

постановке (см. рис. 49), теперь является трубка с осью и сечением (рис. 50). Введем дуговые координаты: на фронте на контуре сечения С. Декартовы оси в сечении (с ортами ) - это оси х и у из асимптотических формул. Понадобятся орты: — осей касательной на нормали к С в сечении и касательной к С.

В объеме трубки введем координаты Тогда

(см. гл. 8). Элементарный объем

Энергия в объеме трубки

где напряжения в выражении определяются коэффициентами интенсивности и асимптотическими формулами.

На поверхности трубки имеем координаты , радиус-вектор базисные векторы

и вектор площадки (с нормалью, направленной из трубки)

Далее будем рассматривать трехмерную область вне трубки, и орт и обозначит нормаль из материала как на внешней поверхности О, так и на внутренней

Предлагается следующий вариационный принцип (обобщение

Компоненты заданных векторных функций в базисе определяются лишь асимптотическими формулами. Слагаемое это трансляция на фронте.

Проварьируем функционал (7.10):

Использованы (7.9) и выражение Из предлагаемого принципа вытекают обычные уравнения в объеме и на а также интегральные соотношения

Функционал (7.10) не только стационарен, но и минимален на точном решении. Стационарность без минимальности характерна для другой вариационной постановки — обобщения (7.3):

Напряжения определяются асимптотическими формулами. Из (7.13) следует

Для области вне трубки имеем обычную задачу с поверхностными нагрузками на с Но при этом неизвестны, необходимо использовать интегральные (подчеркнутые) соотношения.

В заключение отметим, что предлагаемые новые постановки (7.10) и (7.13) (как двумерные (7.1) и соответствуют задаче с трещиной лишь

при достаточно малом диаметре точное решение получается в предельном переходе. Достоинства этих постановок — отсутствие сингулярностей и применимость обычных вычислительных алгоритмов.