§ 14. Плоская деформация

Этот термин означает лишь то, что вектор и параллелен плоскости и не зависит от

перемещения и деформации “двумерны”. Но в тензоре напряжений присутствует дополнительная компонента

Плоская деформация реализуется в бесконечном цилиндре, расположенном вдоль оси z, когда объемные и поверхностные нагрузки перпендикулярны образующим и постоянны на них. Как и при антиплоской деформации, можно рассматривать плоскую фигуру с границей (рис. 13).

Наибольший интерес представляет решение без объемных сил. Уравнение баланса сил позволяет ввести функцию напряжений Эри [53, 68]:

Детали вывода таковы:

Формула (14.3) — это инвариантная запись последних соотношений. Знаменитое бигармоническое уравнение

— результат подстановки (14.3) в уравнение совместности деформаций, которое при плоской деформации сводится к одному скалярному равенству

Конкретно имеем

Поставим граничные условия для на контуре с заданными поверхностными силами (рис. 18). Вектор напряжения

Интегрируя по промежутку найдем главный вектор нагрузок на этом участке

Рис. 18

Здесь мы учли, что определен с точностью до аддитивной константы, и потому приняли

Условие (14.8) — это одно из двух, необходимых для бигармонического уравнения. Второе связано с моментом

Без ущерба для общности принято .

В качестве примера рассмотрим полуплоскость с сосредоточенной нормальной силой на границе (рис. 19) — задачу Фламана [53]. Граница области — декартова ось точке соответствует Условия при таковы:

Рис. 19

Решение этой несложной задачи можно построить разными способами. Если гармоническая сила, то будут бигармоническими — как и сама Но интересно рассмотреть своеобразный метод решения, основанный на представлениях о размерности величин. Искомое решение запишем как

Достаточно ясно, что безразмерна и никаких дополнительных аргументов содержать не может. Но аргументами безразмерной функции должны быть лишь безразмерные аргументы — поэтому Тогда легко угадать общее решение вида (14.11)

Определив константы из граничных условий найдем :

Отброшены слагаемые постоянным градиентом. Линии уровня показанные на рис. 19 окружности.

Обратимся к перемещениям. Общий вид их связи с функцией Эри выводится из (14.6) с учетом того, что гармоническая функция представима реальной частью некоторой регулярной функции

Функция оказалась перемещением твердого тела и потому отброшена в заключительной формуле.

Определим перемещения в задаче Фламана (см. (14.12)):

Неудивительно, что и при (логарифмическая особенность). Но трудно примириться с тем, что при н не только не затухает, но даже неограниченно растет. Это — “дефект” плоской задачи. В пространственной задаче с сосредоточенной силой на границе полупространства результаты более физичны [53].

В плоской задаче широко и эффективно применяются методы теории функций комплексного переменного (конформное отображение, интеграл Коши и др.) [46, 53, 64]. Распространение компьютеров не обесценивает эти изощренные методы, но заставляет сместить акценты — громоздкие выкладки без особой необходимости становятся нерациональными. Выведем основные формулы с комплексным переменным в плоской задаче.

Казалось бы, любую функцию от можно считать зависящей лишь от . Но запись обычно применяется для регулярных функций с их замечательными свойствами. Поэтому пару заменяют парой со следующими соотношениями производных

Уравнение Лапласа тогда допускает своеобразное решение:

Пришли к известному представлению гармонической функции через регулярную.

Решая подобным образом бигармоническое уравнение, получим формулу Гурса с двумя регулярными функциями:

Основные соотношения, называемые формулами Колосова-Мусхелишвили, таковы:

Первая из этих формул содержится в (14.17). Вторая вытекает из равенства

Третья же — это выражение (14.13), переписанное с учетом того, что

Решению граничных задач для и т. е. определению их из граничных условий разных типов, посвящено много специальных монографий. Тщательно изучены и задачи со смешанными граничными условиями — в частности, контактные [64].

Библиография

Можно назвать несколько десятков книг по классической теории упругости, представляющих несомненный интерес несмотря на возрастающую отдаленность во времени. Подробные литературные указания содержатся в фундаментальной монографии А.И. Лурье [53], пространственным задачам посвящена более ранняя его книга [51]. Широко известны книги С.П. Тимошенко и Дж. Гудьера [99] с предельно упрощенным математическим аппаратом. У Н.И. Мусхелишвили [64] особое внимание уделено применению комплексного переменного. Богатый материал представлен у В. Новацкого [68]. Новые и неформальные подходы представлены в курсе Ю.Н. Работаова (не только по теории упругости) [85]. Привлекая математиков, теория упругости является и сложной математической дисциплиной, о чем свидетельствуют книги Н.Ф. Морозова [62] и Ф. Сьярле [93]. Нельзя не отметить труд А. Лява [54]. Особенности описания анизотропных сред изложены у К.Ф. Черных [112].