§ 7. Температурные напряжения

Эти напряжения заслуживают особого рассмотрения, хотя и определяются очевидным образом полями перемещений и температуры. При равновесии свободного тела без внешних нагрузок имеем

где тензор податливостей из закона Гука.

Из (7.1) следует, что необходимое условие отсутствия температурных напряжений

В однородном теле для выполнения этого равенства достаточно постоянства (линейное распределение). Поэтому неправильно распространенное представление о перепаде температур как причине напряжений. При тензор несовместности пропорционален второму градиенту . В неоднородном же теле и при постоянной температуре так что возникают напряжения.

Следует, однако, помнить, что условие (7.2) в общем случае лишь необходимое для Достаточным оно оказывается только в

Рис. 20

односвязной области. Если же в теле имеются замкнутые (или выходящие обоими концами на поверхность) трубчатые полости, необходимо привлечь дополнительные условия однозначности перемещений.

Рассмотрим элементарный пример: полый цилиндр с осесимметричным температурным полем в рамках плоской деформации.

Тензор напряжений имеет вид (см. рис. 20)

Уравнение баланса сил сводится к следующему:

Преобразуем далее определяющее уравнение

Деформация (7.4) должна удовлетворять уравнению совместности (4.14.5). Однако можно воспользоваться более простым:

Подставив (7.4) в (7.5) и учитывая (7.3), получим [99]

Учтены граничные условия Решение можно обобщить на случай неоднородного материала, если свойства зависят лишь от достаточно не отделять множитель от (подчеркнуто).