§ 6. Интеграл Райса

Одно из самых известных (с 1967 г.) понятий в механике трещин выражается интегралом

Рис. 47

Имеются в виду двумерные задачи с трещиной Тело находится в равновесии без объемных сил. Контур С охватывает вершину трещины, начинаясь на одном берегу разреза и заканчиваясь на другом (рис. 47).

Сначала покажем, что для замкнутых, не охватывающих вершину трещины контуров -интеграл (6.1) равен нулю. По теореме о дивергенции для области с границей

так как

Рис. 48

Теперь легко установить, что на всех разомкнутых контурах, соединяющих берега, -интеграл имеет одно и то же значение. Для составного контура на рис. он замкнут. Но на отрезках оси вклада в интеграл нет. Учитывая направление и, заключаем, что на С, и -интегралы одинаковы.

J-интеграл равен трещинодвижущей силе F. Для доказательства достаточно рассмотреть контур в такой близости к вершине, где уже справедливы асимптотические формулы. Ограничимся вычислениями для антиплоской деформации:

Интегрируя по окружности радиуса будем иметь

Приведем еще два соображения о -интеграле [85]. К равенству можно прийти следующим образом. Рассмотрим энергию области с контуром С (см. рис. 47)

Пусть вершина трещины сдвинулась вправо на Вместо поля получим тогда

Но так что Но это рассуждение менее убедительно, чем представленное в § 4.

Второе соображение связано с нелинейными эффектами. Если ввести -интеграл для произвольного потенциала то независимость от контура можно использовать для определения особенности решения при Рассматривая на окружностях различного радиуса получим то Следовательно, при

В линейной упругости