§ 2. Модель типа Тимошенко (прямой подход)

Пластина рассматривается как материальная плоскость, частицы которой имеют перемещение и поворот Распределенными нагрузками служат сила и моменты таеа на единицу площади. На контуре области действуют силы и моменты

Принцип виртуальной работы выражается равенством

Это справедливо и в динамике — достаточно включить в соответствующие инерционные слагаемые. Работа внутренних сил на единицу площади) обращается в нуль на перемещениях твердого тела

Последнее можно представить и в виде

Подобно тому, как это делалось выше, рассмотрим (2.1) при как вариационную задачу с ограничениями (2.2). Введем соответствующие множители Лагранжа: вектор (несимметричный). Вариации и 80 свободны в следующей постановке:

Используя тождества

и теорему о дивергенции (на плоскости), получим

Благодаря произвольности вариаций отсюда следует:

Формулы (2.6) раскрывают смысл множителей Лагранжа; это вектор перерезывающих сил, тензор моментов. Уравнения (2.5) выражают баланс сил и моментов.

В этом выводе, как и везде в данной главе, предполагается малость перемещений и поворотов (геометрическая линейность). Но вывод можно продолжить, поскольку рассматриваем лишь упругие тела: где энергия деформации на единицу площади. Запишем (2.1) для произвольной части пластины

Применив теорему о дивергенции, придем к локальному соотношению

На виртуальных перемещениях без деформации что ведет к уравнениям баланса (2.5). Оставшиеся слагаемые позволяют записать соотношения упругости:

То, что характеризуют деформацию, ясно с момента их введения в (2.2); теперь же установлено, что они сопряжены с силовыми факторами

Поскольку рассматривается линейная теория, достаточно квадратичной аппроксимации потенциала П:

(линейные слагаемые отсутствуют, так как отсчетная конфигурация не напряжена); общее количество независимых коэффициентов жесткости в (2.10) равно 21.

В тензорах выделим симметричные и антисимметричные части:

Тогда из (2.9) получим

Аргументами можно считать два инварианта тензора а также утлы которые первая главная ось образует с вектором у и осью Для изотропной пластины из набора аргументов уходит лишь один угол

Ограничимся простейшим выражением энергии без перекрестных связей

Соотношения упругости можно записать и так:

Подставив (2.14) в уравнение баланса (2.5), придем к системе

Если ввести потенциалы поля т.е. положить

то из (2.15) получим

Первое уравнение с очевидностью вытекает из (2.15), а два других записаны с предположением об отделимости “потенциальной” части от “вихревой”

Заметим, что жесткости имеют размерность Отношение их порождает малый масштаб длины А. Соответствующие асимптотические явления рассмотрим позднее.