§ 12. Антиплоская деформация

Это раздел линейной теории упругости, где нетривиальные результаты можно получать простыми математическими средствами. Нетривиальным в теории упругости автор считает, например, то, что “деление силы на площадь” может дать сколь угодно большую погрешность при определении напряжений.

Рассматривается изотропная среда в декартовой системе с ортами . Антиплоской называется деформация со следующим полем перемещений:

т. е. вектор и параллелен оси z, но от координаты z не зависит.

Деформации и напряжения при этом характеризуются не тензорами второго ранга, а векторами:

Рассмотрев баланс сил, обнаружим, что объемная сила должна быть направлена по а перемещение удовлетворяет уравнению

(допускаем пока неоднородность среды — модуль сдвига может зависеть от координат

Границей тела считаем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Вместо объема V в двумерной задаче можно говорить о плоской области границей На контуре вводится дуговая координата и орты касательной I и внешней нормали (рис. 13). Граничные условия на могут быть первого рода на части и второго на части Поверхностная нагрузка, разумеется, направлена по

Принцип Лагранжа о минимуме потенциальной энергии системы для антиплоской деформации формулируется так:

Далее рассматриваем однородную среду без объемных сил — Уравнение Лапласа в которое превращается (12.3) весьма характерно для антиплоской деформации. Основываясь на уравнении баланса сил, введем “функцию напряжений”

Рис. 13

Из правого равенства с очевидностью следует левое. Но верно и то, что любое поле с нулевой дивергенцией представляется через выражение

является полным дифференциалом.

Имеем два выражения через и (12.2) и Следовательно,

Это условия Коши-Римана [46], связывающие реальную и мнимую части регулярной функции комплексного переменного

Функция содержит в себе всю информацию о решении

Если контур задан уравнением (рис. 10), то

т. к. . Пусть, например,

Рис. 14

При имеем бесконечности” задан сдвиг в плоскости касательным напряжением Но окружность радиуса а (рис. 14) свободна от напряжений:

Модуль напряжения

принимает максимальное значение на контуре отверстия при

В этом примере мы встретились с важным эффектом в теории упругости — концентрацией напряжений.