§ 14. Тензор Римана-Кристоффеля

Рассматривая операции тензорного анализа в криволинейных координатах, мы до сих пор исходили из представления радиус-вектора Этой зависимостью порождались выражения базисных векторов ковариантных компонент “метрического тензора” символов Кристоффеля и др. Недоразумением было понятие “метрический тензор”: ведь это компоненты единичного тензора

Представим теперь, что в каждой точке пространства задана некая симметричная положительная матрица

Билинейная форма

определяет расстояния между точками и углы между пересекающимися линиями. Поэтому можно сказать, что метрическая матрица. Понимая ошибочность отождествления тензора с матрицей, но не желая без крайней необходимости нарушать традиции и разрушать терминологию, согласимся с высказыванием “g - метрический тензор”.

Поскольку шесть функций произошли от векторной функции между компонентами должны существовать некие соотношения.

Выражение полный дифференциал. Следовательно, Но эти необходимые условия обеспечены симметрией g,-(см. (12.6)).

Пойдем дальше: также полные дифференциалы. Поэтому векторный трехиндексный объект

должен быть симметричен по второму и третьему индексам (а не только по первому и второму). И тогда будет равен нулю следующий тензор четвертого ранга — тензор Римана—Кристоффеля [50]:

Выразим “тензор” через “метрический тензор”. Начнем с дифференцирования кобазиса:

Учитывая это и (12.6) при вычислении производных (14.2), получим

Подстановка этого выражения в (14.3) приводит к следующему представлению компонент тензора Римана-Кристоффеля

Видна симметрия и антисимметрия “тензора”

Из общего числа 81 компоненты независимы лишь шесть:

из них формируется следующий симметричный тензор Риччи:

Равенства нулю компонент тензора Риччи — это шесть условий интегрируемости уравнений для по заданному полю

Библиография

Существует немало книг, в которых рассматривается лишь аппарат тензорного исчисления [13, 55, 86,91, 92]. Преобладает “индексный” подход — тензоры трактуются как матрицы компонент, преобразующиеся по известному закону. Будучи учеником и последователем А.И. Лурье, автор в первую очередь готов рекомендовать книги (50, 53], где есть специальные приложения о тензорах. Яркое изложение теории векторных полей можно найти у Р. Феймана [105]. Сведения о тензорном исчислении содержатся и в своеобразной и глубокой книге К. Трусделла [103].