§ 3. Уравнения совместности

Из выражений тензоров деформации (1.2) следует

Уравнение (3.2) можно записать иначе, если выделить в у симметричную и антисимметричную части (см. (2.2)):

Приравняв первые инварианты обеих частей, будем иметь

Первое равенство можно опустить как следствие второго.

Транспонируя (3.3), применяя операцию Ухи учитывая (3.1), получим знакомое по классической теории уравнение

Получили три варианта уравнений совместности: (3.1) и (3.2); (3.1) и (3.3) (подчеркнуто); (3.3) и (3.4). Очевидно, варианты равносильны.

Пока выяснили лишь необходимость уравнений совместности: поскольку — однозначные функции места, определяемые по ним должны удовлетворять этим уравнениям.

Но справедливо и встречное утверждение: уравнения совместности достаточны для однозначности перемещений и поворотов при определении их по тензорам деформации.

Интегралы по линиям

не должны зависеть от пути между началом и концом. Аналогичные интегралы по любым замкнутым линиям должны быть равны нулю:

(второй интеграл преобразован по частям). Применяя теорему о циркуляции, придем к (3.1) и (3.2).

Однако последнее преобразование не проходит в неодносвязной области, если замкнутая линия охватывает соответствующую трубчатую полость. Чтобы перемещения и повороты в неодносвязном теле были однозначными функциями места, должны быть удовлетворены и уравнения совместности, и интегральные условия (3.6) на контурах, охватывающих трубчатые полости.