§ 11. Случай малой толщины

При малой относительной толщине стержня модель типа Коссера уступает место классической. Понятие “толщина” определяется соотношением жесткостей: — разной размерности; полагая где некий масштаб длины, получим тензоры одной размерности ; подбирая так, чтобы сблизились характерные значения их, найдем эквивалентную толщину И стержня (для реальных трехмерных стержней И порядка диаметра сечения).

Выразив к через векторы деформации (при запишем уравнения баланса

Вместо написали и убрали “крышу” у . Рассмотрим далее предельный процесс при Знаем (§ 7.2), что возможно одно из двух: либо малые члены можно просто откинуть (все определяется на первом шаге, малые поправки неинтересны), либо имеет место некое асимптотическое расщепление (необходимо сделать несколько шагов, определив главный член из условий разрешимости).

Попробовав отбросить малые члены в (11.1), наталкиваемся на противоречие: несовместимо с первым уравнением. Разложения не проходят.

Не приводит к успеху и Правильное решение таково:

Подчеркнутые равенства соответствуют классической модели; в роли выступает связи этого фактора с нет. Обратим

внимание, на исчезновение момента в (11.2). Важно отметить, что главные члены образовали замкнутую систему, мы ничего не отбросили, все равенства точны.

Приведенный вывод справедлив только для криволинейных стержней где не константа. В прямом стержне из равенств следует где этот случай требует особого рассмотрения.

Переход модели типа Коссера в классическую кажется более очевидным при непосредственном интегрировании уравнений (10.11). Тензоры податливости “малы”, их отбрасывание ведет к модели Кирхгофа, Однако необходимость определения констант и др. из граничных условий требует более тщательного анализа.

Пусть на концах заданы и и 0. Тогда известны значения интегралов

Подставив сюда из (10.11), придем к линейной алгебраической системе для

Правые части а и отличаются от из (11.3) слагаемыми с нагрузкой

Опираясь на положительность можно доказать, что:

— тензоры А и положительны и потому обратимы;

— система (11.4) однозначно разрешима.

Оба положения вытекают из неравенства

(если и не равны одновременно нулю).

При нулевых а и система (11.4) имеет лишь тривиальное решение, что равносильно однозначной разрешимости.

Решение (11.4) таково:

По доказанному Рассмотрим подробнее этот тензор. Положим где — характерная толщина. Из (11.4) и (11.6) получим

Вспоминая теперь расщепление в линейной алгебраической системе, заключаем: при можно заменить на т. е. ограничиться классической моделью, если Докажем, что это неравенство может быть нарушено лишь для стержня с прямой осью. Если то система

имеет нетривиальное решение. При этом

Но поэтому Дифференцируя, получим Последнее возможно лишь для прямого стержня.

Доказанное означает, что при малой толщине модель Коссера не переходит в классическую разве лишь для прямого стержня. Понятно, что при с прямым стержнем могут быть проблемы — нельзя задавать различными продольные перемещения концов. Но важно, что случай прямого стержня оказался единственным. В этом случае необходимо ввести хотя бы продольную податливость

В заключение необходимо отметить, что вместо А размерности длины следовало бы рассматривать относительную толщину где характерный масштаб изменяемости решения по При быстро меняющихся нагрузках мало, и модель типа Коссера не перейдет в классическую.