§ 4. Вилка Хилла

Отметив, что совпадают, попробуем установить соотношение между ними. Оказывается, это легко сделать с помощью вариационных принципов теории упругости. Для первой задачи с условиями (3.3) рассмотрим принцип минимума потенциальной энергии (§ 4.9):

При простейшей допустимой аппроксимации имеем

Минимум же функционала, согласно (3.4), равен

Значения квадратичной формы с тензором не превосходят значений с что можно представить как:

Осреднение жесткости (связываемое с именем Фойгта), дает завышенное эффективное значение.

Представим далее соотношение упругости в обращенной форме Для эффективной податливости справедлива оценка Рейсса

Обосновать это можно с помощью принципа минимума дополнительной работы (§ 4.10), формулировка которого для второй задачи такова:

Простейшая допустимая аппроксимация дает

Но минимум функционала вследствие (3.4) равен

приходим к (4.2).

Установленная оценка податливости сверху означает, очевидно, оценку жесткости снизу. Двусторонее неравенство, содержащееся в (4.1) и (4.2), называется вилкой Хилла.