§ 11. Тензор Пиола
Силу, действующую в среде на элементарной материальной площадке с вектором
можно представить в виде
если воспользоваться соотношением Нансона (6.1) между векторами материальной площадки в отсчетной
и актуальной
конфигурациях.
Тензор
в (11.1) называется тензором Пиола. Он несимметричен. Его связь с градиентом деформации следует из (9.6)
Уравнение баланса сил (импульса) теперь принимает форму
Доказательство следует из интегрального соотношения
Преимущества (11.3) перед (8.2): оно рассматривается в известном
V — объеме, и оператор V выражается лишь через известные векторы
Появление тензора Пиола отвечает важному свойству упругого тела — “помнить” отсчетную конфигурацию. В механике жидкости, например, тензор
едва ли будет полезен.
Рассмотрим принцип виртуальной работы для произвольного материального объема с использованием
с учетом произвольности объема. При
имеем
приходим к (11.3). Остается
Этот несколько неожиданный результат получен благодаря коммутативности
и V не коммутируют).
В приведенном безупречном выводе все же возникают вопросы:
— где же баланс моментов? Он тоже должен вытекать из принципа виртуальной работы;
— хорошо ли считать
функцией
Ведь
определяется лишь частью заключенной в
информации (не нужен
.
Необходимо дополнить (11.5):
что означает симметрию
см. (11.1). Одновременно (11.6) является ограничением на вид