§ 11. Тензор Пиола

Силу, действующую в среде на элементарной материальной площадке с вектором можно представить в виде

если воспользоваться соотношением Нансона (6.1) между векторами материальной площадки в отсчетной и актуальной конфигурациях.

Тензор в (11.1) называется тензором Пиола. Он несимметричен. Его связь с градиентом деформации следует из (9.6)

Уравнение баланса сил (импульса) теперь принимает форму

Доказательство следует из интегрального соотношения

Преимущества (11.3) перед (8.2): оно рассматривается в известном

V — объеме, и оператор V выражается лишь через известные векторы Появление тензора Пиола отвечает важному свойству упругого тела — “помнить” отсчетную конфигурацию. В механике жидкости, например, тензор едва ли будет полезен.

Рассмотрим принцип виртуальной работы для произвольного материального объема с использованием

с учетом произвольности объема. При имеем приходим к (11.3). Остается

Этот несколько неожиданный результат получен благодаря коммутативности и V не коммутируют).

В приведенном безупречном выводе все же возникают вопросы:

— где же баланс моментов? Он тоже должен вытекать из принципа виртуальной работы;

— хорошо ли считать функцией Ведь определяется лишь частью заключенной в информации (не нужен .

Необходимо дополнить (11.5):

что означает симметрию см. (11.1). Одновременно (11.6) является ограничением на вид