§ 3. Градиент деформации
Располагая законом движения (1.3), введем тензор второго ранга
называемый градиентом деформации [95, 103].
Отметим формальные Соотношения
Предостерегая от ошибок, напомним о единичном тензоре
Здесь два набора ковариантных компонент “метрического тензора”: в базисе 
отсчетной конфигурации и базисе 
актуальной.
Тензор 
связывает операторы Гамильтона 
Но более важна определяемая им связь элементарных материальных отрезков 
в отсчетной и актуальной конфигурациях
(при
Соотношение (3.4) задает линейное преобразование элементарных объемов. Величина объема при этом определяется третьим главным инвариантом (детерминантом) тензора:
Теорема о полярном разложении (1.9.1) позволяет выделить в градиенте деформации тензор поворота 
и симметричные и положительные тензоры 
и V:
(условие 
выполнено — см. (3.5)). Установленная структура линейного преобразования (3.4) позволяет любой переход элементарного объема из отсчетной конфигурации в актуальную представить так (рис. 6):
Рис. 6
— в отсчетной конфигурации выделяем элементарный кубик, ребра которого параллельны главным осям тензора 
— кубик деформируется в прямоугольный параллелепипед с сохранением направления ребер;
— параллелепипед поворачивается (без деформации) в соответствии с 
(имеются в виду представления 
отношения длин ребер параллелепипеда и кубика равны главным значениям 
Другой вид полярного разложения 
позволяет представить и другую последовательность операций. Начинаем опять с кубика, ребра которого параллельны 
поворачиваемого согласно 
и затем деформируем в прямоугольный параллепипед с тем же финалом.
В качестве примера выкладок с тензором 
рассмотрим снова баланс массы. Его можно выразить конечным соотношением (см. (2.7) и 
Дифференцируя это тождество по времени (в материальном описании) и учитывая вид 
(формула (1.11.5)), получим
Но согласно (3.1) и (3.2)
так что (3.8) переходит в знакомое (2.6). На этом примере можно показать естественное превращение материального описания (V в F) в пространственное 
в финале).
