§ 3. Первый шаг асимптотической процедуры

Внешнее разложение. Из системы (2.7) для главных членов следует

Некоторые уравнения, как уже отмечалось, являются следствиями других. Учитывая условия при в (2.11), из (3.1) получим

Функции зависят от

Внутреннее разложение вблизи Выпишем уравнения для главных членов в (2.9), сохранив буквенные указатели:

На сторонах обращаются в нуль а на торце Особо будет рассмотрено ниже условие сращивания при Подчеркнем, что система (3.3) рассматривается в прямой полуполосе

Рассмотрим уравнения Начнем с экспоненциальных решений вида

С учетом условии при получим характеристическое уравнение Ненулевым корням отвечают

При этом справедливы соотношения

Нулевому же корню соответствует

Общее решение уравнений при условиях будет следующим

Коэффициенты а также и пока произвольны. Но при должно быть Опираясь на (3.6) и более простое получим свяжем с и окончательно будем иметь

Это был погранслой в антиплоской задаче на “правом” конце полоски (рис. 25). На “левом” же конце получим то же выражение (3.8) для в то же время как у изменится знак.

Теперь рассмотрим погранслой в плоской задаче на “правом” конце. В системе (3.3) возьмем уравнения и (5). Разыскивая решения вида и т. п., придем к характеристическому уравнению корни которого известны [53]. Особого учета требует нулевой корень третьей кратности, соответствующее ему решение ищем в виде

и для девяти имеющихся здесь функций получим громоздкую с виду, но легко разрешимую систему. В итоге придем к следующему представлению общего решения

Коэффициенты пока произвольны.

Нет необходимости приводить здесь выражения однородных решений но важны соотношения А

Иначе говоря, однородные решения не дают в сечениях полосы ни сил, ни моментов. Равенства (3.10) легко выводятся из уравнений если учесть условия

Но решение (3.9) должно удовлетворять также условиям при том Чтобы определить коэффициенты в (3.9) из этих равенств, нет необходимости привлекать соотношения обобщенной ортогональности [53] — достаточно рассмотреть средние величины вида (3.10). В результате обнаружим, что все коэффициенты — нули. Следовательно,

Сращивание. Стыковка внутреннего и внешнего разложений производится посредством специальной процедуры сращивания [66]. Простейший вариант сращивания — в условии Прандтля: Иногда этот вариант оказывается слаб, приходится использовать более мощное условие Ван Дайка (§ 7.5). Но сейчас условия Прандтля достаточно. Сращивая (3.8) и (3.11) с (3.2), заключаем:

Это относится к внешнему разложению. Погранслои строились лишь для того, чтобы поставить условия для внешнего разложения. При очевидно, будет аналогичная картина.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. На концах у нас Казалось бы, в (6.26) следует положить при Можно рискнуть сослаться на принцип Сен-Венана: - некая сила, а момент... Но метод сращивания показал, что это — ошибка:

Осталось определить погранслоя здесь нет, внешнее разложение распространяется до концов полоски. Формально это следует из уравнений и условия сращивания.