§ 3. Принцип виртуальной работы

Виртуальным перемещением частицы с радиус-вектором называется вариация т. е. задаваемое нами произвольное бесконечно малое приращение совместимое с ограничениями-связями. Если связей нет, т. е. система свободна, то совершенно произвольны.

Будем рассматривать и несвободные системы с голономными связями вида

При наличии таких связей виртуальные перемещения должны удовлетворять уравнениям

В несвободных системах все силы делятся на две группы: активные и реакции связей. Реакции действуют со стороны материальных ограничителей и меняются таким образом, чтобы выполнялись условия (3.1). Принимается предложение об идеальности связей:

работа реакций на любых виртуальных перемещениях равна нулю.

Принцип виртуальной работы выражается уравнением

где лишь активные силы.

Дифференциальное вариационное уравнение (3.4) может показаться тривиальным следствием закона Ньютона (1.1) и условия идеальности связей (3.3). Однако содержание (3.4) несравненно обширнее. Известно — и читатель вскоре это увидит, — что принцип (3.4) может быть положен в основу механики [18]. Различные модели упругих тел, описываемые в этой книге, построены с опорой на этот принцип.

В качестве примера рассмотрим абсолютно твердое тело. Учитывая, что в уравнение (3.4) можно привести к виду

Поскольку произвольны, выражения в квадратных скобках должны быть равны нулю, приходим к знакомым уравнениям (2.5) и (2.6).

Проявилась замечательная особенность (3.4): это скалярное уравнение эквивалентно системе такого порядка, каково число степеней свободы системы, т. е. сколько независимых вариаций мы имеем. Если в системе Лоточек задано связей, то число степеней свободы

Из скалярного уравнения (3.4) могут следовать тензорные уравнения любого ранга, если определяются независимыми вариациями соответствующих тензоров. Для твердого тела получили в (3.5) два векторных уравнения, поскольку и векторы.