§ 8. Уравнения в напряжениях

Баланс сил

еще не определяет напряжений. Они должны быть такими, чтобы соответствующие им деформации оказались совместны:

(см. (3.10)). Взятые вместе, (8.1) и (8.2) образуют систему уравнений в напряжениях.

Постановка в напряжениях пугает своей громоздкостью и используется реже, чем постановка в перемещениях. Смущает, например, то, что в компонентах имеем девять уравнений для шести напряжений. Но в каждой конкретной задаче обнаруживаем, что переопределенности в системе нет. Справедливо и то, что во многих случаях именно постановка в напряжениях позволяет быстрее решить задачу.

Рассмотрим (8.2) для изотропного материала:

Это уравнения Бельтрами-Мичелла [53, 68].

Отсутствие переопределенности в системе уравнений означает, что какие-то уравнения являются следствиями остальных. Убедимся, что (8.1) вытекает из (8.3) в некотором смысле. От обеих частей (8.3) возьмем дивергенцию

откуда следует (8.1), если оно выполняется на границе тела (единственность решения первой краевой задачи для уравнения Лапласа [101]).