§ 2. Абсолютно твердое тело

Для задания положения твердого тела достаточно указать место какой-либо фиксированной его точки-полюса, а также угловую ориентацию (рис. 4). С телом можно жестко связать тройку декартовых осей с ортами Тогда угловая ориентация будет задана тензором

Рис. 4

поворота где связанная с системой отсчета ортогональная тройка ортов.

Движение тела определяется функциями Для радиус-вектора произвольной точки тела имеем

поскольку а координаты в твердом теле от времени не зависят.

Импульс и момент импульса тела выражаются следующими интегралами плотность):

Здесь присутствуют три инерционных характеристики тела: масса вектор эксцентриситета (задает смещение центра масс от полюса) и тензор инерции

Поскольку полюс можно назначить где угодно, его обычно совмещают с центром масс. Тогда и формулы (2.2), (2.3) упрощаются. Отметим формулы дифференцирования

выражающие очевидную неизменность компонент в подвижном базисе

Фундаментальные уравнения динамики твердого тела выводятся подстановкой (2.2) и (2.3) в (1.3) и (1.4):

где - внешняя сила на единицу массы).

В уравнении баланса момента импульса (2,6) отброшены слагаемые, равные нулю согласно (2.5).

Уравнения для трансляции и поворота разделяются, если полюс находится в центре масс. Перепишем (2.6) для этого случая, учитывая правило дифференцирования (2.4):

История интегрирования этого уравнения началась с работы Эйлера и изложена в литературе по динамике твердого тела. Однако компактная и конструктивная тензорная запись (2.7) пока не получила должного распространения.