§ 10. Соотношения упругости

Фундаментальное соотношение упругости (9.6) представим как

и вспомним разложение линейного преобразования на деформацию и поворот (рис. 6). Согласно (10.1), строится в два этапа: сначала играет роль тензор V, возникает тензор в скобках, а затем результат поворачивается согласно Это позволяет в описании поворота отдать предпочтение а не вихрям (§ 5).

Конструкционные материалы обычно работают при малых деформациях. В этом случае можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться квадратичными членами

Линейных членов в разложении нет, поскольку отсчетная конфигурация считается ненапряженной: при

Тензор жесткости обладает следующей симметрией:

так что число независимых компонент у него 21, а не 81.

Обратимся к важнейшему случаю изотропного материала. Здесь функция трех инвариантов С. Используя общее правило (1.11.6) дифференцирования изотропной функции, получим

В линейной теории упругости (о ней следующая глава) энергия изотропного материала

где константы Ляме. Простейшим возможным вариантом для изотропных конструкционных материалов представляется следующий:

Но это годится лишь для достаточно малых деформаций — повороты могут быть большими, так что имеется в виду геометрическая нелинейность.

Напоминает (10.5) “полулинейный материал Джона” [50] с энергией

При малых деформациях и (10.6) совпадает с (10.5) в главных членах, ибо

Квадратичная аппроксимация энергии соответствует “физически-линейной” модели. Простейшая, по-видимому, физическая нелинейность присуща материалу Мурнагана [50] с энергией

все инварианты — тензора С. В книге [50] есть таблица значений пяти констант Мурнагана для различных материалов.

Материалы типа резины (эластомеры [113]) работают при больших деформациях, зависимость может иметь для них весьма сложный вид [113].

Однако заметим, что при больших деформациях исчезают преимущества работы с и и С — проще остаться с радиус-вектором и мерами Коши-Грина G и Фигнера Учитывая, что перепишем соотношение упругости (9.6) как

что в изотропном теле преобразуется так:

Здесь главные инварианты использована формула дифференцирования изотропной функции, учтено равенство исключено тождеством Гамильтона-Кэли.

Для материалов с большими деформациями зависимость от инвариантов не может быть определена без экспериментов. Но в постановке экспериментов должна быть стратегия, необходимы априорные теоретические соображения. Предложено много так называемых дополнительных неравенств для конечных и дифференциальных; об этом можно прочесть в книгах К. Трусделла [103] и А.И. Лурье [50].