§ 10. Соотношения упругости
Фундаментальное соотношение упругости (9.6) представим как
и вспомним разложение линейного преобразования на деформацию и поворот (рис. 6). Согласно (10.1), строится в два этапа: сначала играет роль тензор V, возникает тензор в скобках, а затем результат поворачивается согласно Это позволяет в описании поворота отдать предпочтение а не вихрям (§ 5).
Конструкционные материалы обычно работают при малых деформациях. В этом случае можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться квадратичными членами
Линейных членов в разложении нет, поскольку отсчетная конфигурация считается ненапряженной: при
Тензор жесткости обладает следующей симметрией:
так что число независимых компонент у него 21, а не 81.
Обратимся к важнейшему случаю изотропного материала. Здесь функция трех инвариантов С. Используя общее правило (1.11.6) дифференцирования изотропной функции, получим
В линейной теории упругости (о ней следующая глава) энергия изотропного материала
где константы Ляме. Простейшим возможным вариантом для изотропных конструкционных материалов представляется следующий:
Но это годится лишь для достаточно малых деформаций — повороты могут быть большими, так что имеется в виду геометрическая нелинейность.
Напоминает (10.5) “полулинейный материал Джона” [50] с энергией
При малых деформациях и (10.6) совпадает с (10.5) в главных членах, ибо
Квадратичная аппроксимация энергии соответствует “физически-линейной” модели. Простейшая, по-видимому, физическая нелинейность присуща материалу Мурнагана [50] с энергией
все инварианты — тензора С. В книге [50] есть таблица значений пяти констант Мурнагана для различных материалов.
Материалы типа резины (эластомеры [113]) работают при больших деформациях, зависимость может иметь для них весьма сложный вид [113].
Однако заметим, что при больших деформациях исчезают преимущества работы с и и С — проще остаться с радиус-вектором и мерами Коши-Грина G и Фигнера Учитывая, что перепишем соотношение упругости (9.6) как
что в изотропном теле преобразуется так: