§ 4. Статика периодического стержня

В уравнениях линейной статики стержня (§ 8.10) будем считать орт касательной и тензоры податливости быстро меняющимися периодическими функциями дуговой координаты

— и так же Пусть нет перекрестных связей.

Решение будем искать в характерном для метода Лионса-Бахвалова виде

с периодичностью всех членов по быстрой координате

Расщепляя оператор, дифференцирования запишем систему уравнений

Подставив (4.1) в (4.2), в главных членах получим

Не только перемещения и повороты, но и силовые факторы не зависят от быстрой координаты — в трехмерной среде подобного не было.

Продолжая асимптотический процесс, можно искать следующие члены разложений, найти локальную структуру решения и с помощью неких условий разрешимости получить замкнутую систему для главных членов. Однако в рассматриваемом конкретном случае все делается быстро и просто. Опираясь на периодичность по о, осредним уравнения (4.2):

Но с учетом (4,3) отсюда следует

Это уравнения “эквивалентного стержня”. Его эффективные параметры оказались простыми средними от исходных. Отметим, что является ортом.

Важнейшим примером периодического стержня является винтовая пружина. Но она не укладывается в представленную выше схему: жесткость эквивалентного (прямого) стержня на растяжение определяется не только осреднением В но и некими операциями с А. В пружине величина мала и переход от (4.4) к (4.5) лишается оснований. Требует уточнения исходная постановка задачи с малым параметром.

Библиография

Лежащий в основе данной главы асимптотический метод представлен (с разной степенью строгости) в книгах [5, 43, 80, 119].