Глава 3. НЕЛИНЕЙНО-УПРУГАЯ БЕЗМОМЕНТНАЯ СРЕДА

§ 1. Модель сплошной среды. Описания процессов

Тела имеют дискретное строение, и модель системы частиц с массами и радиус-векторами может показаться подходящей, несмотря на невообразимое число степеней свободы — тем более, что объем памяти и быстродействие компьютеров характеризуются тоже астрономическими числами.

И все же предпочтение стоит отдать качественно иной модели сплошной среды, в которой масса непрерывно распределена по объему: в объеме V содержится масса

где плотность.

С непрерывным распределением массы связано лишь первое и простейшее представление о сплошной среде как множестве материальных точек. Можно представить более сложные модели, в которых частицы обладают степенями свободы не только трансляции, но и поворота, внутренней деформации и др. Отметив, что подобным сложным моделям уделяется все больше внимания, ограничимся пока простейшим классическим представлением о среде как состоящей из точек.

В каждый момент времени деформируемое тело занимает некий объем V пространства. Вводя обычным образом какие-либо криволинейные координаты можем считать

Устанавливая соответствие между наиболее разумно принять, что для каждой материальной частицы тройка фиксирована. Тогда называются материальными (или — менее удачно — лагранжевыми) координатами. Формула (1.2) дает при этом закон движения каждой частицы материального континуума.

В начальный момент, точнее, в так называемой, отчетной конфигурации — имеем Между начальным радиус-вектором частицы и тройкой должно быть взаимно однозначное соответствие, поэтому вместо (1.2) можно считать

Предпочитая материальное описание, любой процесс в среде будет характеризовать функциями типа (1.2) или (1.3): плотность скорость и т. п.

Но может быть эффективно и иное описание — пространственное (или эйлерово), при котором рассматриваются процессы не в частицах среды, а в точках пространства. Полагая, например, мы следим за происходящим в данном месте и не смущаемся непрерывным уходом и приходом частиц.