§ 6. Сосредоточенная сила в неограниченной среде

Начнем с риторического вопроса: почему упругое тело сопротивляется приложенной нагрузке, выдерживает ее? Удачный ответ можно найти у Дж. Гордона [24]: тело деформируется так, чтобы возникли внутренние силы, способные уравновесить внешнюю нагрузку.

Простыми рассуждениями можно установить, что линейно-упругое тело не может “держать” нагрузку в виде сосредоточенной силы, поскольку и при это расстояние от точки нагружения). Из баланса сил следует, что (“большое О” означает; такого же порядка). Тогда по закону Гука Интегрируя соотношение получим при

Однако эти соображения не снижают ценность классического решения Кельвина-Сомильяны о действии сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде [53]

Для вывода (6.1) воспользуемся решением Папковича-Нейбера (5.4):

Осталось найти константу А из условия равновесия

где поверхность сферы с нормалью

Имеем

Вычисляя далее интеграл в учтем, что множитель выносится, и получившееся подынтегральное выражение без особенности допускает применение теоремы о дивергенции. Из (6.3) получим что в сочетании с (6.2) доказывает формулу (6.1).

Зная тензор можно получить решение для любого набора сил в неограниченной среде

(знак указывает, по каким переменным интегрируем).

Рассмотрим нагрузку системой сосредоточенных сил с близкими точками приложения: Имеем

Второе слагаемое убывает при быстрее первого и потому должно быть отброшено — если главный вектор Если же главный вектор — нуль, то решение определяется “нагрузочным тензором” Векторный инвариант последнего — главный момент — не характеризует весь силовой фактор, симметричная часть представляется не менее важной. Эти рассуждения не соответствуют распространенной трактовке принципа Сен-Венана (“вдали от места нагружения важны лишь главный вектор и главный момент”) [54, 68].