§ 4. Метод осреднения Ван-дер-Поля

Опять рассматривается уравнение (3.1), но теперь разыскиваются не только периодические решения. Вводится фазовая плоскость с декартовыми координатами и полярными (рис. 21). Связь координат такова

Рис. 21

Записав проекции скорости на радиальное и окружное направления

получим точные уравнения в новых переменных.

Далее учтем малость При имеем Основная идея метода — в замене правых частей уравнений (4.2) их средними за один оборот; вместо (4.2) получим

Первое из этих уравнений интегрируется:

а второе определяет через

Однако, переход от (4.2) к (4.3) остался необоснованным. Но одно оправдание у нас уже есть: при для периодического решения, уравнения (4.3) полностью согласуются с соотношениями (3.3) метода Пуанкаре.

Обоснование перехода к (4.3) содержится в методе Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, подробно описанном в книге [10]. В этом методе используются асимптотические разложения

и предполагается, что функции имеют период по углу и не содержат первой гармоники. Подстановка (4.4) в (3.1) и последующее приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает для всех уравнение гармонического осциллятора Условия существования периодического решения и, оказываются обоснованием подхода Ван-дер-Поля.

Методика Крылова-Боголюбова получила обширные обобщения в виде метода осреднения. При этом сначала делается замена переменных с разделением их на быстрые и медленные, а затем по быстрым переменным производится некое осреднение. Отсылая читателя к специальной литературе [10, 61], ограничимся замечанием, что асимптотическое расщепление задачи мы наблюдаем и здесь.

Процедура осреднения применяется в различных разделах теории упругости (тонкие тела, композиты и др.). Осреднение вне асимптотических методов приводит обычно к незамкнутым системам уравнений; для замыкания приходится принимать некие гипотезы, что умаляет достоверность теории. Иная ситуация в асимптотике: условия разрешимости для поправочных членов с необходимостью приводят к соответствующим интегральным соотношениям.