§ 5. Волны в упругой среде

Рассмотрим линейные уравнения динамики однородной изотропной среды без объемных сил (см. (4.5.2)).

Применив к обеим частям операцию получим

Относительная объемная деформация оказалась волновым процессом со скоростью

Операция над обеими частями (5.1) ведет к уравнению

Векторное поле малого поворота это волновой процесс со скоростью

Однако (5.2) и (5.3) — это частные результаты, относящиеся к уравнению (5.1). Более общее утверждение состоит в том, что любое решение (5.1) представимо как

Доказательство можно найти в книге Л.И. Слепяна [90]. Отметим, что скалярный потенциал связан с объемной деформацией, а векторный потенциал с поворотом:

Комментируя (5.4), можно представить общее решение как суперпозицию волн расширения и вращения Так называемые продольные и поперечные волны — это лишь частные случаи.

Представим некое ограниченное тело, в глубине которого внезапно прикладывается локальная нагрузка. От точки приложения расходятся волны с выраженными фронтами, эти волны являются решениями для безграничного пространства. В некоторый момент времени волна (она быстрее) достигает границы с условием или более общим. Поскольку решение в безграничном пространстве не удовлетворяет граничному условию, при к нему добавляется соответствующее другое решение, что можно интерпретировать как отражение

волны. При достаточно больших имеем суперпозицию множества падающих и отраженных волн. Образуется сложная интерференционная картина, уже ничем не напоминающая две волны.

Отражение от границы может приводить к новым волновым процессам. Наиболее известным и простым среди них является поверхностная волна Рэлея. Для полупространства рассматривается плоская деформация с синусоидальной волной вдоль оси

(при плоской деформации вектор направлен по оси . Отношение частоты к волновому числу А: называется фазовой скоростью: с Из волновых уравнений (5,4) вытекают обыкновенные уравнения

с решениями

Константы пока произвольны. Предполагая (т. е. ), оставили в (5.8) лишь не возрастающую при часть.

На свободной границе имеем условия

Подставив сюда (5.6) и (5.8), придем к линейной однородной алгебраической системе для Равенству нулю ее определителя позволяет найти фазовую скорость с:

Весьма важно, что с не зависит от к, т. е. у поверхностной волны нет дисперсии. Уравнение (5.10) всегда имеет единственный корень; при изменении коэффициента Пуассона от 0 до 0,5 отношение с находится в промежутке (0,874, 0,955) [89].

Для решения задач волновой динамики разработаны изощренные методы с интегральными преобразованиями [84, 90].