Глава 7. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 1. Асимптотические разложения
До сих пор аргументами рассматриваемых функций были только координаты и время. Размеры тела, упругие модули, характерные масштабы изменения воздействий в пространстве и времени — все эти параметры считались заданными. В основе всех асимптотических методов лежит изучение зависимости решения от параметров: если в задаче с неизвестной и присутствует параметр а, то, полагая 
решение ищут в виде
Дополнительный аргумент X называется формальным малым параметром.
Разложение (1.1) можно считать обычным степенным рядом. Но в асимптотических методах иное представление: ряды рассматриваются как асимптотические со сходимостью не при 
(количество удержанных членов), а при 
Иначе говоря, остаток ряда есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с последним удержанным членом. Очевидно, что степенной ряд (1.1) сходится и как асимптотический.
Однако разлагаемые неизвестные обычно зависят и от других аргументов — координат и времени. Сходимость при 
должна быть равномерной по этим “главным” аргументам — таково требование к асимптотическим разложениям при эффективном их использовании. Например,
не удовлетворяет требованию равномерности, поскольку при 
последующие члены преобладают над предыдущими.
Более строго и подробно об асимптотических разложениях написано в книгах А. Найфэ [65, 66].
Чем же привлекательны асимптотические методы? Пусть, например, надо решить уравнение
Подставив (1.1) в (1.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях А., получим
Если задача для 
на первом шаге однозначно разрешима, то на последующих шагах мы найдем поправки 
Малые поправки едва ли важны, и тогда достаточно 
но при этом исчезает асимптотический анализ — формально малые члены в 
просто отбрасываются. Впрочем, бывает так, что поправки содержат в себе некую важную информацию, которой не было в 
тогда они перетягивают на себя главную роль. Заметим, что все поправки находятся из линейной задачи с одним и тем же оператором (подчеркнуто).
Однако все нетривиальные и эффективные решения получены несколько иначе, поскольку для них характерна неединственность решения на первом шаге. Об этом — в последующих параграфах.
Итак, асимптотические методы позволяют изменить первоначальную (сложную) постановку задачи (1.2) на более простые. Важно, что это происходит не от простого отбрасывания членов, 
вполне корректно — равенства остаются равенствами. Полной математической строгости при этом нет, поскольку сходимость не обосновывается. Но подобными обоснованиями должны заниматься не механики, а математики.
В главах 3—6 уже возникали асимптотические проблемы. Линейная теория получается из нелинейной с помощью разложений по масштабу нагрузки (§ 3.1). Безмоментная теория вытекает в определенном смысле (с точностью до краевых эффектов) из моментной при устремлении соответствующих жесткостей к бесконечности. В термоупругости использование обычного уравнения теплопроводности вместо полного баланса энергии должно обосновываться асимптотическими методами.
Уязвимым в какой-то степени местом всех асимтотических подходов является введение малого параметра 
Едва ли конструктивно возражение “малых параметров не бывает, все величины конечны”. Более актуален вопрос: что же является малым параметром? Обычно постановку задачи приводят к безразмерным величинам и в качестве уберут ту безразмерную комбинацию, которая оказалась малой. Но можно поступить иначе: если известно, что некий параметр 
мало изменяет решение, можно переобозначить его Адзи заняться асимптотическим анализом при 
Разумеется, это не законы асимптотики, не рекомендации, а лишь соображения. Нет общей теории асимптотических методов, их применение остается в какой-то степени искусством [4].
