§ 6. Неконсервативные задачи

В уравнении динамики (1.5) матрица позиционных сил С несимметрична. Ее антисимметричная часть определяет “циркуляционные силы”. Отсутствие интеграла энергии означает, что есть ее источник: заданное вращение конца ротора, воздушный набегающий поток и др. Энергия источника может тратиться на катастрофический уход системы от равновесного положения.

Рассмотрим сначала систему без диссипативных сил. Определяемые задачей (1.6) значения образуют четверки в комплексной плоскости: Следовательно, устойчивость имеет место лишь при чисто мнимых . С ростом нагрузки значения меняются, оставаясь при на мнимой оси. В критической ситуации происходит слияние корней с последующим расхождением влево и вправо. В отличие от консервативной системы, это слияние не обязано быть в нуле, так что статический подход к устойчивости в случае циркуляционных сил не имеет оснований. Необходимый динамический подход облегчается пониманием того факта, что происходит не только переход в правую полуплоскость, но и слияние, т. е. образование кратного корня.

Отметим, что при циркуляционных силах неустойчивость проявляется как колебания с экспоненциально растущей амплитудой (тип “флаттер”). В консервативной же системе имеем растущую экспоненту с вещественным показателем (тип “дивергенция”).

В качестве примера рассмотрим прямой консольный стержень, сжатый на свободном конце такой силой, которая направлена по касательной: Определив состояние перед варьированием, для последующих малых отклонений в плоскости получим

Далее следует положить вывести характеристическое уравнение и искать такое при котором хотя бы один корень перестает быть вещественным. Поскольку при этом сливаются два корня, то должно быть и Подобный алгоритм требует привлечения вычислительной техники.

Вытекающую из (6.1) задачу для можно решать приближенно методом Галеркина. Но при небольшом числе координатных функций в аппроксимации погрешность определения велика.

Однако необходимость динамического подхода — не главная сложность задач устойчивости с циркуляционными силами. В этих задачах обязателен учет демпфирования — по двум причинам. Во-первых, диссипативные силы могут быть дестабилизирующими: если в (1.5) — устойчивость, то в (1.8) возможно неустойчивость [58]. Во-вторых, сколь угодно малые диссипативные силы способны изменить критические параметры на конечную величину (парадокс Циглера) [74, 108].

Указанный парадокс можно обнаружить уже в системе с двумя степенями свободы. Соответствующее характеристическое уравнение

Параметр определяет уровень демпфирования. При имеем

Условие устойчивости без диссипации выражается одним неравенством

Известный критерий Гурвица [58] дает следующие условия устойчивости в случае (6.2):

Предельный переход при ведет к условиям

что совсем не похоже на (6.4).

“Парадокс” Циглера заставляет пересмотреть постановку задач устойчивости с циркуляционными силами: следует ввести малое демпфирование и расчетные критические параметры получить предельным переходом такая точка зрения высказана, в частности, в [74], и с ней трудно не согласиться.

Есть основания и для более решительного высказывания: вопросы устойчивости с циркуляционными силами в реальных ситуациях нельзя решать без экспериментальных исследований, поскольку точный учет диссипативных сил теоретически пока невозможен.