§ 10. Тензоры в косоугольном базисе

До сих пор нам было достаточно базиса из ортогональной правой тройки единичных векторов Теперь рассмотрим базис из трех любых линейно независимых (т. е. некомпланарных) векторов Без ущерба для общности будем все-таки считать тройку правой. Разложение произвольного вектора по базису запишем в виде

Должна быть скорректирована индексная символика: повторяющиеся (немые) индексы располагаются на разных уровнях, свободные

индексы в обеих частях равенств — на одной высоте правильно, дважды неправильно).

Введем еще и другой базис а, называемый взаимным или кобазисом:

Здесь по-новому обозначенные символы Леви-Чивита (±1 или 0), так что, например, обозначение объема параллелепипеда, построенного на векторах Легко проверяемое равенство

выражает основное свойство кобазиса.

Располагая кобазисом, можно не только разложить по нему произвольный вектор, но и получить выражение коэффициентов

Коэффициенты называются ковариантными компонентами контр авариантными.

В старой литературе по тензорному исчислению различают ковариантные и контравариантные векторы. Не стоит вводить читателя в заблуждение: есть просто векторы но компоненты их двух видов.

От векторов перейдем к тензорам второго ранга. Имеем четыре набора диад: Соответствующие коэффициенты в разложении тензора называются контравариантными, ковариантными и смешанными компонентами:

Имеем два вида смешанных компонент. Точка у индекса означает лишь свободное место: индекс первый, а второй.

Базис и кобазис связаны не только равенствами (10.2) и (10.3), но и следующими разложениями

Скалярные произведения во многих книгах называются “ковариантные компоненты метрического тензора”, a

“контравариантные...”. Чуть дальше станет ясно, что это не очень удачная терминология.

Из (10.4) и (10.6) следует связь между ковариантными и контрава-риантными компонентами вектора

подъем и отпускание индексов. Для тензора второго ранга п.

Обратимся теперь к единичному тензору и представим его в виде (10.5). Сразу обнаружим, что его компонентами являются

С компонентами связан объем параллелепипеда из (10.2). Можно убедиться, что

определитель матрицы (доказательство напоминает вывод (5.2), только вместо теперь

Представление тензора Леви-Чивита в косоугольном базисе вытекает из инвариантного соотношения (5.5)

поскольку Без усилий выводится и выражение контравариантных компонент где опять же символы Леви-Чивита (±1 или 0).

Итак, различаем верхние и нижние индексы, контравариантные и ковариантные компоненты. Почему же в декартовом базисе этого не было? Потому, что совпали базис и кобазис, а с ними и компоненты — индексы можно было писать на одном уровне. Для введения в тензорное исчисление декартовых базисов достаточно. В дальнейшем мы увидим, что косоугольные базисы полезны и даже необходимы.

Теперь обратимся к вопросу о главных осях тензора, т. е. к задаче (7.1). Можно обобщить картину из § 7. В компонентах имеем следующие алгебраические системы

Последняя запись — как в декартовом базисе. Вид характеристического уравнения и выражения инвариантов (7.2) сохраняются в косоугольном базисе, но лишь для смешанных компонент.

Пусть главные значения различны. Тогда соответствующие векторы линейно независимы (для матриц это известно из линейной

алгебры) Векторы а, образуют базис; введем кобазис и рассмотрим одно из разложений (10.5)

Получили обобщение диагонализации на несимметричные тензоры.

Просто представляются и степени тензора

и т. д. Характеристическое уравнение (7.2) быстро приводит к тождеству Гамильтона-Кэли