§ 9. Принцип минимума потенциальной энергии системы
Начнем с формулировки принципа:
Этот функционал, называемый потенциальной энергией системы, принимает наименьшее значение на истинных перемещениях — т. е. на решении задачи (5.1). При этом рассматриваемые функции должны удовлетворять геометрическому условию на 
, (нельзя нарушать связи) и быть непрерывными (иначе 
не будет интегрируемой).
Возьмем какое-либо допустимое поле перемещений 
рассмотрим разность
Мы преобразовали интеграл по 
учли 
Равенство в финале (9.2) может быть лишь при отличии 
на перемещение твердого тела — что, как правило, невозможно из-за закрепления на 
Принцип обоснован, но рассмотрим его теперь традиционным путем через варьирование:
Этот принцип виртуальной работы (1.5) (“с противоположным знаком”). Из (9.3) вытекают, разумеется, уравнения в объеме и естественные (силовые) граничные условия на 
Установим минимальность функционала через повторное варьирование
Отметим, что минимальное значение функционала
— в соответствии с теоремой Клапейрона (4.1)
Эквивалентность задачи статики линейной упругости и задачи о минимуме 
не только помогает понять суть вопроса, но и служит основой современных вычислительных алгоритмов, получивших широчайшее распространение [15, 31, 114].
Идею известного метода Ритца [53, 60, 87] можно изложить так. Приближенное решение задачи о минимуме функционала 
где 
задаваемые нами непрерывные функции, удовлетворяющие условиям 
а коэффициенты а. варьируются и подлежат определению. Функционал 
превращается в квадратичную форму от 
В энергии 
отброшены слагаемые, не содержащие 
Минимизация 
приводит к алгебраической системе
Метод конечных элементов, широко известный и повсеместно применяемый, выделяется из 
спецификой координатных функций: они отличны от нуля лишь в малых областях, матрица 
оказывается редкозаполненной, а в качестве 
выступают перемещения в узлах сетки.
