Глава 9. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ

§ 1. Вариационный подход

В главе 8 рассматривались стержни с массивным сечением. Но в технике широко используются иные стержни — тонкостенные, сечения которых представляют собой узкие полоски различного очертания (уголок, швеллер, двутавр и др.). Если стержни похожи на линии (материальные линии Коссера), то в тонкостенных стержнях и само сечение выглядит как линия. Три размера — толщина и длина сечения, а также длина стержня — имеют различные порядки.

Известны прикладные теории тонкостенных стержней, описанные, например, в книгах В.З. Власова [17], Г. Ю. Джанелидзе и Я. Г. Пановко [29]. Но сравнительно недавно удалось построить точную теорию, основанную на асимптотическом расщеплении трехмерной задачи [30]. Сложный асимптотический анализ в итоге подтвердил большинство положений прикладной теории.

Рис. 25

В качестве введения в механику тонкостенных стержней хороша вариационная процедура с аппроксимацией перемещений по сечению, допускающей их депланацию. Ограничимся простейшим случаем цилиндрического стержня с тонким односвязным сечением . Боковая поверхность свободна, нагрузка в объеме на торце заданы поверхностные силы торец закреплен.

Вариационное уравнение Лагранжа для трехмерного тела в рассматриваемом случае таково:

Перемещение и аппроксимируем выражением

Первые два слагаемых отвечают гипотезе плоских сечений. Третье содержит функцию депланации из задачи Сен-Венана (орт — см. рис. 13, § 4.12). Варьируемая функция представляет собой дополнительную — седьмую — обобщенную координату в сечении.

Наипростейший случай соответствует равенствам

Первое означает отсутствие поперечного сдвига. Второе заимствовано из задачи Сен-Венана; сохранено и распространенное обозначение для угла закручивания на единицу длины. Аппроксимация (1.2) примет вид

Для тензора деформации тогда получим

Объемная плотность энергии будет равна

Теперь подставим аппроксимацию (1.4) в исходное вариационное уравнение (1.1). Работа объемных нагрузок выразится так:

Аналогично будет выглядеть и работа поверхностных сил на торце

Наряду с обычными силами и моментами в этих формулах присутствуют и новые силовые факторы: бимомент на торце 5, и распределенный бимомент на единицу длины

Далее следует проинтегрировать по сечению энергию (1.6).

При этом используем равенства

Результат интегрирования будет таким

Вариационное уравнение (1.1) запишется — благодаря равенствам (1.7)-(1.9) - следующим образом:

Вытекающие отсюда дифференциальные уравнения и естественные граничные условия таковы:

В (1.11) видим элементарные соотношения продольной деформации. В постановке (1.12) имеются небольшие отличия от теории Бернулли-Эйлера: модуль изгиб связан с кручением через вектор Все особенности модели сконцентрированы в (1.13): вместо пропорциональной зависимости между и имеем сглаженную

операторную зависимость, в которую вмешиваются распределенный бимомент и прогиб (через ).

Для вычисления бимоментов и интегральных характеристик нет необходимости решать задачу Неймана для Как показано в § 7.8, в роли для тонкого сечения может выступать секториальная площадь.