Неизменность компонент при повороте базиса позволяет назвать тензор
изотропным. Векторов с таким свойством нет.
Третий пример связан с линейным преобразованием векторов:
есть линейная функция от а. В каждом базисе имеем
Коэффициенты преобразования зависят от базиса:
Видим, что множество матриц
определяющих одно и то же линейное преобразование а в
но в разных базисах, сводится к одному инвариантному объекту — тензору второго ранга С. Многие авторы так и определяют тензор через соответствующее линейное преобразование.
Четвертый пример — коэффициенты инвариантной квадратичной формы
где
— компоненты векторного аргумента а и значение
не зависит от базиса. Из равенств
следует закон (2.1) для
Обратимся теперь к тензорам высших рангов. Тензор третьего ранга
определяется через совокупность величин
преобразующихся по закону
Простейший пример — триада:
— векторы, обозначение триады
Отметим, что законы преобразования (2.2) и (2.1) — результаты своеобразного повторения “векторного” закона (1.4). Читатель без труда напишет закон преобразования компонент тензора любого высокого ранга и в качестве примера приведет соответствующую полиаду.
Векторы с их законом (1.4) можно теперь рассматривать как тензоры первого ранга.
В заключение этого параграфа обратимся к самым простым объектам — скалярам. Это числа, не зависящие от базиса: масса, энергия и др. Но что такое, например, компоненты вектора
Если не скаляры, то что? Односложно ответить невозможно. В каждом конкретном базисе
конечно, векторы,
скаляры
совместный скалярный инвариант векторов
.