§ 2. Определение тензора

Пусть в каждом базисе задана совокупность величин , преобразующаяся при переходе к новому базису по закону

тогда эта совокупность определяет инвариантный объект — тензор второго ранга В.

Иными словами, тензор В проявляется в каждом базисе матрицей своих компонент меняющейся вместе с базисом согласно (2.1). Распространенные в литературе попытки заменить тензоры матрицами ведут к ошибкам, если не следить за базисами, которым эти матрицы соответствуют.

Важнейшим примером тензора второго ранга является диада. Пусть а и векторы. В каждом базисе положим Легко убедиться, что правило преобразования (2.1) для соблюдается. Получившийся тензор В называется диадным произведением или просто диадой; для него используются обозначения и Предпочтем второе.

Другой пример тензора второго ранга — единичный тензор. Для любого правого декартова базиса положим Это действительно компоненты тензора, поскольку правило (2.1) соблюдается. Обозначим этот тензор

Неизменность компонент при повороте базиса позволяет назвать тензор изотропным. Векторов с таким свойством нет.

Третий пример связан с линейным преобразованием векторов: есть линейная функция от а. В каждом базисе имеем Коэффициенты преобразования зависят от базиса:

Видим, что множество матриц определяющих одно и то же линейное преобразование а в но в разных базисах, сводится к одному инвариантному объекту — тензору второго ранга С. Многие авторы так и определяют тензор через соответствующее линейное преобразование.

Четвертый пример — коэффициенты инвариантной квадратичной формы где — компоненты векторного аргумента а и значение не зависит от базиса. Из равенств следует закон (2.1) для

Обратимся теперь к тензорам высших рангов. Тензор третьего ранга определяется через совокупность величин преобразующихся по закону

Простейший пример — триада: — векторы, обозначение триады

Отметим, что законы преобразования (2.2) и (2.1) — результаты своеобразного повторения “векторного” закона (1.4). Читатель без труда напишет закон преобразования компонент тензора любого высокого ранга и в качестве примера приведет соответствующую полиаду.

Векторы с их законом (1.4) можно теперь рассматривать как тензоры первого ранга.

В заключение этого параграфа обратимся к самым простым объектам — скалярам. Это числа, не зависящие от базиса: масса, энергия и др. Но что такое, например, компоненты вектора Если не скаляры, то что? Односложно ответить невозможно. В каждом конкретном базисе конечно, векторы, скаляры совместный скалярный инвариант векторов .