Глава 8. СТЕРЖНИ

§ 1. Исходные представления

Стержень — это тонкое длинное тело. Он характеризуется прежде всего своей осью — пространственной кривой, которую “облепляет” материал (рис. 22). В каждой точке оси имеем плоскую фигуру нормального сечения Ось определяется зависимостью радиус-вектора от дуговой координаты. Будем рассматривать лишь стержни с постоянным сечением, т. е. не зависящим от (хотя случай медленно меняющегося сечения лишь немногим сложнее).

Рис. 22

В каждом сечении выберем пару декартовых осей с ортами (но правило выбора для всех сечений одинаково: например, можно взять главные оси инерции). Добавив орт касательной к оси получим (для каждого значения ортогональный триэдр, характеризующий угловую ориентацию. Кривизна и кручение стержня определяются вектором

Для цилиндрического (призматического) стержня Однако заметим, что это лишь начальное представление о векторе как геометрической характеристике. Позднее мы примем во внимание материальную структуру стержня, и тогда понятие изменится.

Но в каждой точке оси есть и другая ортогональная тройка ортов — с нормалью и бинормалью. Известны легко выводимые формулы Френе:

Здесь и орты главной нормали, бинормали, кривизна кривой, кручение; называется вектором Дарбу. Заметим, что пара функций полностью определяет форму кривой, поскольку это коэффициенты системы обыкновенных дифференциальных уравнений для (найдя интегрированием получим с точностью до перемещения твердого тела).

Орты повернуты по отношению к и А на некоторый угол Из теоремы о сложении угловых скоростей (2.7.6) вытекает связь

Геометрия стержня полностью определяется тремя функциями из уравнений

находим с точностью до поворота твердого тела (он в начальных условиях), а потом интегрированием получим (с аддитивной константой — трансляцией).

В прикладных приближенных теориях стержней фигурируют силы и моменты. С тензором напряжений они связаны очевидными соотношениями

Из шести компонент здесь участвуют лишь три. Раньше считалось, что остальные компоненты второстепенны. Но теперь представления иные, все компоненты могут быть важны (об этом — ниже, при описании асимптотического расщепления трехмерной задачи).

Изложенные соображения о геометрии и силовых факторах относятся к конкретной одной конфигурации. Можно было бы продолжить рассуждения, если бы нормальные материальные сечения оставались таковыми и при деформации. Но эта гипотеза приводит к

серьезным противоречиям: невозможно удовлетворительно описать кручение стержня без учета депланации (есть и другие неувязки).

Наиболее правильный подход к описанию деформации упругих стержней связан, по-видимому, с асимптотическим расщеплением трехмерной задачи при малой толщине. Но в сложной асимптотической процедуре желательно заранее иметь некий вариант ответа. Такой вариант дается прямым подходом, основанным на одномерной модели стержня как материальной линии. Но какими степенями свободы — кроме трансляции — должны обладать частицы линии?

Давно известно, что стержни чувствительны к моментным нагрузкам. Но присутствие моментов среди обобщенных сил означает наличие вращательных степеней свободы. Следовательно, одномерной моделью стержня должна быть линия Коссера — она состоит из элементарных твердых тел. Впрочем, могут проявиться и дополнительные степени свободы — как в тонкостенных стержнях, которым посвящена отдельная глава.

В механике упругих тел стержни занимают особое достойное место. Во-первых, это моментные модели; моменты здесь играют главную роль (не роль поправок, как в трехмерном континууме Коссера). Во-вторых, стержни являются как бы испытательным полигоном для моделей с дополнительными степенями свободы, поскольку наличие этих свобод можно достоверно исследовать на трехмерной модели. Ну а пока сосредоточимся на простой одномерной модели Коссера.