§ 5. Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа

Вариационное уравнение (3.4) удовлетворяется в любой момент времени. Интегрируя его по какому-либо промежутку получим

Без ущерба для общности можно принять тогда внеинтегральный член исчезнет.

Вводятся обобщенные координаты Радиус-векторы становятся функциями вида тождественно удовлетворяющими уравнениям связей (3.1). Если связи стационарны, т. е. (3.1) не содержат достаточно считать Кинетическая энергия превращается в функцию где явно входящее характерно лишь для нестационарных связей.

Очень важным является понятие обобщенных сил Они вводятся через выражение виртуальной работы

Стоит подчеркнуть это происхождение обобщенных сил через работу. Установив набор обобщенных координат системы, следует сгруппировать обычные силы в комплексы

Если силы потенциальны, то

Явное присутствие может быть вызвано нестационарностью связей или зависимостью от времени соответствующих физических полей.

Следуя [18], выделим важный класс консервативных систем с тремя отличительными признаками:

— все связи стационарны;

— все силы потенциальны;

— потенциал не зависит явно от времени.

Знаменитый принцип Гамильтона вполне выражается равенством (5.1). Отбрасывая внеинтегральный член, учитывая (5.2) и предполагая силы потенциальными, получим

— вариация действия по Гамильтону (так называется интеграл) равна нулю.

Следствием (5.1) являются и уравнения Лагранжа второго рода. В интеграле

слагаемое с двойной подстановкой исчезает, Подставив (5.5) и (5.2) в (5.1) и воспользовавшись произвольностью вариаций придем к уравнениям

широко используемым не только в теории, но и в инженерных расчетах.

При потенциальных силах можно ввести функцию Лагранжа (или лагранжиан) записать (5.6) как

Здесь введены обобщенные импульсы Они фигурируют в самых известных уравнениях общей механики — канонических уравнениях амильтона

От (5.7) к (5.8) можно просто перейти преобразованием Лежандра. Рассмотрим последнее — оно не раз будет использовано далее. От переменных переходим помощью функции содержащей дополнительные аргументы Преобразование Лежандра выражается равенствами

Для доказательства (5.9) достаточно рассмотреть вариацию

Подчеркнутые слагаемые сокращаются, а остальные ведут к (5.9).

Определение импульсов в (5.7) — аналог . В роли выступает а — это Вместо (5.9) имеем

Учитывая первое равенство в (5.7), приходим к (5.8).

Из (5.10) видно также, что если явно входящего нет в лагранжиане то его не будет и в гамильтониане . С этим замечанием связано существование важнейшего первого интеграла (5.8) — интеграла энергии:

В консервативной системе и для любого движения оказывается константой.

В теоретической физике [47] равенство в изолированной системе связывается с однородностью времени — отсюда и сохранение энергии Продолжая подобные рассуждения, можно отметить независимость гамильтониана изолированной системы от трансляции и поворота и придти к законам сохранения импульса и момента импульса: если

Известны уравнения Лагранжа не только второго, но и первого рода. Рассмотрим их ради методики вывода, регулярно применяемой ниже.

При наличии связей (3.1) равенство ткгк не следует из вариационного уравнения (3.4), поскольку не являются независимыми. Каждое из условий для вариаций (3.2) умножим на некий скаляр изатем добавим к (3.2):

Среди вариаций компонент имеем зависимых. Но столько же множителей Лагранжа подберем так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях обратились в нуль. Но при остальных вариациях коэффициенты также должны быть нулями из-за независимости. Следовательно, все выражения в скобках (3.1) равны нулю — это и есть уравнения Лагранжа первого рода.

Поскольку для каждой частицы то это силы реакций. Рассматривая в последующих главах упругие тела, мы не раз встретимся с представлением сил через множители Лагранжа.