Глава 5. МОМЕНТНАЯ ТРЕХМЕРНАЯ СРЕДА

§ 1. Введение в линейную моментную теорию

Главной отличительной чертой классических сред (см. гл. 3 и 4) является то, что они “состоят из обычных материальных точек”. Частица классической среды обладает лишь трансляционными степенями свободы, ее движение определяется только вектором Соответственно этому силовыми факторами являются лишь силы — объемные и поверхностные.

Но не так уж трудно построить более сложные модели сплошной среды, в которых частицы имеют не только трансляционные степени свободы, но и некоторые дополнительные. Новые степени свободы связаны и с новыми силовыми факторами, а также новыми уравнениями.

Наиболее важная и естественная из неклассических моделей трехмерной среды предложена братьями Коссера в 1909 г. [120]. Каждая частица континуума Коссера — это элементарное твердое тело с шестью степенями свободы. Силовые факторы в такой среде — силы и моменты. Работа Коссера оставалась невостребованной полвека, но затем возник массовый интерес к этой теме [59, 68].

Рассмотрим сначала геометрически-линейную модель, т. е. случай малых перемещений и поворотов. Векторные поля перемещений и малых поворотов независимы. Операторы (§ 3.2) неразличимы, уравнения “можно писать в отсчетной конфигурации”. За основу вывода примем, как и везде в этой книге, принцип виртуальной работы:

Здесь внешние силы и моменты на единицу объема; и они же, но на единицу поверхности; работа внутренних сил на единицу объема.

По-прежнему считаем, что на перемещениях твердого тела, т. е. при

Введенные так у и как нетрудно догадаться, окажутся тензорами деформации.

В § 3.14 было показано, что напряжения можно рассматривать как множители Лагранжа в принципе виртуальной работы при Поступим так же и теперь:

Множители Лагранжа в каждой точке — это несимметричные тензоры второго ранга

Используя равенства

и теорему о дивергенции, приведем (1.3) к виду

Вследствие произвольности вариаций в объеме и на поверхности получаем уравнения баланса сил и моментов, а также формулы типа Коши, раскрывающие смысл

Тензор силовых напряжений удовлетворяет тем же дифференциальным “уравнениям равновесия” и граничным условиям, что и в безмоментной среде (кавычки оттого, что уравнениями равновесия вообще-то следует считать все, что вытекает из принципа виртуальной работы в статике). Но тензор х несимметричен, поскольку отличны от нуля моментные напряжения и нагрузки

Смысл компонент тензора раскрывается так же, как и На площадке с нормалью и единичной площадью действует момент (используем декартов базис). Диагональные компоненты и другие — это крутящие моменты, недиагональные — изгибающие.

Уравнения (1.4) становятся уравнениями динамики, если в включить инерционные слагаемые. При произвольных движениях частицы как твердого тела их вид следует из уравнений (2.2.5) и (2.2.6). Линеаризуя их при малых перемещениях и поворотах, получим

Эти уравнения баланса импульса и момента импульса (в линейном приближении) содержат три инерционных параметра: плотность (масса на единицу объема), вектор эксцентриситета и тензор инерции . В изотропной среде, очевидно,

Вышеизложенное относится к любой моментной среде в геометрически-линейной постановке — не только к упругой. Система (1.2), (1.4) неполна, необходимо получить также определяющие уравнения.