§ 3. Классическая теория Кирхгофа

Принимается внутренняя связь

Это равносильно кинематической гипотезе: материальный элемент, нормальный в исходном состоянии срединной плоскости будет после деформации нормальным к поверхности . В самом деле, орт нормали после малого поворота с вектором равен тогда как для нормали к поверхности имеем

(не вписаны малые высшего порядка).

Уравнения связи (3.1) занимает в системе уравнений место соотношения упругости для Последнее не может быть написано, поскольку в (2.9) остается

что позволяет определить лишь

Стоит рассмотреть вывод уравнений с самого начала — от (2.1). Можно поставить задачу с ограничением и ввести симметричный тензор множителей Лагранжа А:

Подчеркнутое слагаемое должно быть преобразовано. На контуре

Это преобразование обязательно, поскольку на контуре имеем лишь две независимые вариации

Используя тождества

приведем (3.3) к виду

Первое из подчеркнутых выражений равно нулю — таково единственное уравнение равновесия внутри. На свободной границе должны обращаться в нуль второе и третье. В случае защемленной границы имеем

Важен также вариант шарнирной опоры:

Граничные условия в теории пластин Кирхгофа не раз вызывали дискуссии, хотя в литературе и давались четкие разъяснения [9, 72]. Корректность их вывода очевидна. Но нельзя требовать от модели Кирхгофа той же полноты описания, что в трехмерной модели, да и в двумерной типа Тимошенко. В последней имеем на свободном крае просто (2.6) — три условия, а не два.

Однако до сих пор не использовано то обстоятельство, что пластина Кирхгофа упругая. Работа внутренних сил причем потенциал является функцией от Равенство (3.3) сохранится, но теперь имеем

(такой тензор всегда симметричен). В физически-линейной модели будет квадратичной формой (с шестью коэффициентами). Для изотропной пластины

Подставив (3.9) в первое из следствий (3.6), првдем к уравнению Жермен — Лагранжа

Слагаемое с отсутствует в распространенных изложениях. Сумма называется цилиндрической жесткостью: широко известно ее выражение для случая однородного изотропного материала в справедливости этого мы убедимся ниже с помощью асимптотического анализа трехмерной задачи.

Вернемся к вытекающим из (3.6) условиям на свободном крае. Было дважды использовано преобразование типа (3.4) с интегрированием по частям, подынтегральные функции считались гладкими. Но представим себе, что имеет скачок при Тогда выражение содержит слагаемое а в производной появится Аналогичное слагаемое в граничном условии будет при наличии сосредоточенной нагрузки (в присутствует если при приложена сила Итак, скачок крутящего момента эквивалентен силе таково свойство граничного условия из (3.6).

Подобные сосредоточенные силы появляются и в другом случае — при наличии на контуре угловых точек. Ведь при изломе контура имеют скачки, эквивалентная сила

( и означают до и после угловой точки).

Подчеркнем, что приведенные рассуждения о сосредоточенных силах относятся к краю со свободным прогибом произвольна). На опертом крае имеем это обеспечивает удовлетворение (3.6), а не равенство нулю множителя говорить, например, о сосредоточенных силах в углах шарнирно-опертой прямоугольной пластины нет оснований.

Модель Кирхгофа ярко иллюстрирует различия между механикой Ньютона-Эйлера и механикой Лагранжа. В первой силовыми факторами служат лишь силы и моменты. Во второй же силы считаются обобщенными и определяются по виртуальной работе консервативных системах — по энергии).

Но каков смысл тензора Сопоставляя (3.2) и (3.7), можно предположить, что Это согласуется с уравнением баланса моментов (2.5) — из которого следует при равенства (3.5) и очевидной идентичности Компоненты таковы: (изгибающие моменты); (крутящие).