§ 2. Колебания стержней

В линейной динамике стержней имеем следующую систему для сил моментов перемещений поворотов (§ 8.10):

При синусоидальных нормальных колебаниях уравнения для амплитуд

выглядят как уравнения статики (с подчеркнутыми нагрузками). Ограничиваясь случаем с закрепленными концами применим теорему Клапейрона (8.10.4):

Отсюда следует неравенство а также выражение отношения Рэлея (минимум которого равен

Теорема взаимности работ позволяет легко доказать ортогональность форм:

(произведена нормировка форм).

Теорема о разложении выражается равенствами

Выражения коэффициентов следуют из (2.4), если ряд сходится равномерно. Такая сходимость может быть гарантирована лишь при совпадении геометрических условий для разлагаемых функций и форм.

Теорема взаимности работ позволяет также найти вынужденные колебания. Разыскивая решение в виде и рассматривая (2.1) и (2.2) как две статические задачи, придем к уравнениям

как

Вернемся к исходной системе (2.1). Иногда целесообразно перейти к компонентам. В случае кругового кольца будем иметь

Здесь векторы представлены в базисе орт касательной, и — орт главной нормали (по радиусу к центру кольца), к — кривизна, орт декартовой оси z, перпендикулярной плоскости кольца. Направления считаются главными для тензоров равны нулю

Двенадцать уравнений (2.6) разделились на две группы по шесть; одна описывает колебания кольца в своей плоскости, а другая — с выходом из плоскости.

В модели типа Коссера уравнения (2.6) являются простейшим вариантом. Но еще проще уравнения модели Кирхгофа, в которых

Для определения собственных частот замкнутого кольца достаточно рассмотреть решения вида д. Для амплитуд и др. получим линейную однородную алгебраическую систему. Приравняв нулю ее определитель, получим как функцию номера гармоники

Рассмотрим далее прямой стержень. Декартова ось х идет вдоль стержня, ее орт Орт оси у кривизна Уравнения (2.6) разделятся на четыре группы.

Растяжение — сжатие описывается двумя уравнениями

Так же выглядят уравнения кручения

Изгибу в плоскости соответствует

И почти так же описывается изгиб в плоскости

В случае растяжения — сжатия имеем неоднородное волновое уравнение

рассматриваемое во всех курсах математической физики. Такая же ситуация и в задаче кручения.

Более сложен случай изгиба. Система (2.9) может быть сведена к двум уравнениям

(индексы излишни). Сразу отметим, что старшие производные здесь образуют те же сочетания, что в волновом уравнении. Из (2.11) следует

(можно рассматривать (2.11) как линейные алгебраические уравнения и разрешить их через определители). Уравнение балки Тимошенко в форме (2.12) часто встречается в литературе — но предпочтительнее все-таки (2.11).

Пример: балка Тимошенко защемлена на конце и свободна на конце для определения частот и форм имеем следующую задачу на собственные значения:

Классическая теория изгиба балки Бернулли-Эйлера является простейшим следствием теории Кирхгофа. Вместо (2.9) будем иметь

Отметим, что именно такие уравнения получаются при асимптотическом расщеплении трехмерной задачи (§ 8.16).

В примере с балкой (2.13) теперь другая постановка:

Сравнивая собственные частоты в случаях (2.13) и (2.15), обнаружим два отличия. Если в (2.15) — один набор то в (2.13) — два набора: при “малой толщине” .

малы. Малые поправки , будут рассмотрены в § 3.

Классическая теория колебаний балки очень широко представлена в литературе [3, 9, 100]. Общее решение уравнения (2.15) обычно выражается через функции А. Н. Крылова:

В случае (2.15) сразу находим Условия при ведут к частотному уравнению

Но самым простым является вариант с шарнирно-опертыми концами:

Здесь имеем редкий спектр (характерный для стержней).

Не только модели Коссера-Тимошенко и Кирхгофа используются в динамике стержней. Кручение тонкостенных стержней описывается уравнением (9.11.13), а не (2.8). Для растяжения — сжатия при высокочастотных и коротковолновых процессах вместо (2.7) лучше использовать модель Миндлина-Геррманна (§ 8.15).