§ 7. Непрерывно распределенные дислокации

Начнем со сложения векторов Бюргерса. При обходе сразу двух дислокаций (рис. 40) по контуру С имеем

(интегралы по пунктирной линии входят в с противоположными знаками и сокращаются). Закон сложения (7.1) справедлив при любом количестве дислокаций, охватываемых контуром.

Рис. 40

В металлах через площадку в могут проходить миллионы дислокаций, что требует уже неких континуальных представлений.

Можно ввести вектор Бюргерса всех дислокаций, проходящих через площадку обобщая (7.1), будем иметь

Здесь — любая поверхность, натянутая на контур С. Следовательно, для любой замкнутой поверхности

При доказательстве обратимся к рис. 41. Равенство (7.2) справедливо и для и для но на является внешней для замкнутой поверхности внутренней.

Сложив равенства (7.2) для обеих частей , придем к (7.3).

Закон баланса сил позволяет выразить вектор напряжения через тензор напряжений по формуле Коши. Точно так же (7.3) дает основания для введения тензора плотности дислокаций

Рис. 41

Поле тензора содержит лишь ту информацию, которая в случае изолированных дислокаций выражалась их формой и векторами Бюргерса. Но какими уравнениями определяется поле напряжений?

Подсказкой служат уравнения термоупругости (§ 6.7):

где деформация свободного теплового расширения, а определяются лишь напряжениями по закону Гука. Неоднородное уравнение совместности (7.5) допускает простую интерпретацию: поскольку несовместна, возникают напряжения х такие, чтобы суммарная деформация стала совместной. Естественно высказать общий принцип: в линейно-упругом теле без внешних сил напряжения могут возникнуть лишь при начальной несовместной деформации (речь идет об односвязном теле). В роли воздействия при этом выступает тензор несовместности

Попытаемся выразить через тензор плотности дислокаций Необходим некий новый подход, поскольку исчезло понятие перемещения, нет равенств есть лишь актуальная конфигурация, но нет отсчетной.

В качестве первичного сохраним выражение

Оно не является полным дифференциалом не от Подставив (7.6) в (7.2) и используя затем (7.4) с теоремой Стокса, получим

Дифференциальное уравнение (7.4) при этом выполняется. Выделим далее в тензоре симметричную и антисимметричную части:

Согласно (7.7),

Это — искомое выражение если определяемое совпадает с

Чтобы подтвердить последнее предположение, стоит рассмотреть изолированные дислокации как частный случай распределенных. Пусть, например, в цилиндрических координатах

При имеем винтовую дислокацию на оси z с вектором Бюргерса Убедимся, что напряжения в этом случае имеют вид (2.2), т. е.

Уравнение баланса сил удовлетворено при любой функции :

Вся информация заключена в уравнении (7.9):

Из ограниченности решения при следует Вычислив интеграл для функции (7.10), получим

что совпадает с (7.11) при

Более сложные примеры с изолированными дислокациями можно найти в специальной литературе [28, 44, 95, 117].