§ 5. Третий шаг

Внешнее разложение. Из системы (2.7) имеем

Поскольку нули при то должны быть выполнены соответствующие условия разрешимости. Используя результаты предыдущих шагов, получим следующие условия

Из двух последних равенств вытекает независимость от вектора

Но на конце см. (3.12) и (4.17). Значит,

Обеспечив условия разрешимости, проинтегрируем (5.1):

В (4.15) представлены лишь уравнений из (2.7). Из других уравнений (2.7) получим

Уравнения выписаны в том порядке, в каком они решались. Уравнения допускают красивое решение:

Появилась знакомая секториальная площадь Функции разумеется, пока произвольны.

В условиях разрешимости (5.2) не было использовано первое. Но оно, будучи уравнением первого порядка по переменной тоже требует своего условия разрешимости. На концах полоски, согласно (4.16), Интегрируя первое из уравнений (5.2) с учетом выражения из (5.7), получим

В общей системе (2.7) не использованы еще уравнения Из них найдем

Внутреннее разложение около Как уже отмечалось, внутренние разложения необходимы для постановки граничных условий на концах во внешних разложениях. Из общих уравнений (2.9) имеем

Эти уравнения настолько громоздки, что получить их решение в обозримом виде не удалось. Однако (5.11, а) можно с помощью (4.6, а) и (3.3, а преобразовать к такому виду, что после осреднения получится

При условии учитывая выражение из (3.2), (4.5), (5.4) и (5.7), получим

где берутся на “правом” конце полоски. Настораживает рост при но при сращивании по Ван Дайку подобные вещи встречаются.

Обратимся к погранслою плоской задачи. Из (2.9) имеем

Подчеркнутые члены равны нулю. Неоднородность системы обусловлена лишь . Рассмотрим отдельно два частных решения системы, соответствующих следующему:

В случае 1° решение ищем в виде

При граничных условиях получим

В случае 2° решение таково:

Общее решение системы (5.14) с условиями при можем записать, учитывая (5.16), (5.15) и (3.9), в виде

Эти выражения должны удовлетворять также условиям

Самые важные для дальнейшего коэффициенты в этих разложениях определяются без привлечения соотношений обобщенной ортогональности — простым осреднением по толщине. Применив операцию к обоим равенствам, а также операцию к первому равенству, получим

дзета-функция Римана [27].

Сращивание. В плоской задаче имеем следующее двучленное внешнее разложение:

Вводя внутреннюю переменную и разлагая при А. получим двучленное внутреннее разложение двучленного внешнего разложения

Подчеркнутые члены равны нулю в силу (4.17).

Было заявлено, что (5.21) — это двучленное разложение. Но в итоге оно оказалось одночленным. В то же время можно говорить о трехчленном разложении, поскольку удержаны и

Двучленное внутреннее разложение о, таково (см.

Выразив через внешнюю переменную и разложив при получим

Требуя совпадения (5.22) и (5.21), а также учитывая (5.19), придем к граничным условиям для внешнего разложения

Сращивание разложений закончено. Далее надо срастить разложения но новых результатов там не окажется.

Переходим к антиплоской задаче. У нас нет есть лишь осредненное по нему и произведем сращивание. Из (3.2), (4.3), (4.5), (5.8) и (5.10) имеем следующее двучленное внешнее разложение:

При отсюда получим двучленное внутреннее разложение двучленного внешнего разложения

Здесь берутся при

Двучленное внутреннее разложение вытекает из (3.8), (4.7) и (5.13). При вычислении не понадобятся члены с функциями эти члены экспоненциально убывают и не попадут в условие сращивания. Двучленное внешнее разложение двучленного внутреннего разложения будет таким

Сопоставив (5.25) и (5.26), заключаем

Для последующего — заключительного — шага этих условий сращивания будет достаточно. На конце -условия аналогичны выведенным.