§ 15. Напряжения как множители Лагранжа
Изложенному в § 9 применению принципа виртуальной работы предшествовало введение тензора напряжений через баланс сил для элементарного тетраэдра (§ 7). Но сейчас мы увидим, что принцип позволяет обойтись без рассуждений с тетраэдром.
Рассмотрим тело — не обязательно упругое, — нагруженное массовыми 
и поверхностными 
силами. Имеем очевидное вариационное уравнение
где 
виртуальная работа внутренних сил на единицу массы; для краткости пишем 
вместо 
так что динамика присутствует, Работа 
равна нулю на виртуальных перемещениях твердого тела, т. е. при
Можно отбросить 
в (15.1), если выполняется условие (15.2). Тогда получим вариационное уравнение со связью. Уже применявшийся прием с множителями Лагранжа позволяет считать вариации 
независимыми. Поскольку в каждой точке связь представлена симметричным тензором второго ранга, то таким же тензором будут и множители Лагранжа 
Приходим к уравнению
Благодаря симметрии X имеем
Подставив это в (15.3) и применив теорему о дивергенции, получим
Но 
произвольны на поверхности и в объеме, так что
формально введенный симметричный X оказался тензором напряжений.
Подобное введение напряжений автор нашел в книге [85]. Мы не получили новых результатов, но интересна сама техническая возможность одновременного вывода тех уравнений механики сплошной среды, которые традиционно считались независимыми. В последующих главах мы используем эту технику для построения новых континуальных моделей.
Библиография
Особой глубиной изложения нелинейной теории упругости отличаются, по мнению автора, книги А.И. Лурье [50, 53]. Новизна как основных идей, так и стиля изложения присуща книге К. Трусделла [103]. Многаценной информации можно найти у К.Ф. Черных [113]. Нельзя не отметить книгу Л.М. Зубова [33],
его работы по нелинейной упругости хорошо известны. Монография Ю.Н. Работнова [85], где напряжения представлены как множители Лагранжа, очень интересна и своеобразна. О применении нелинейной теории упругости в смежных областях рассказано в книге [95]. Повышенным математическим уровнем строгости отличается монография [93].
