§ 5. Вариационные постановки

Во всех разделах линейной теории упругости важную роль играют вариационные постановки. Они служат основой, в частности, метода конечных элементов как варианта метода Ритца.

Слабее развиты вариационные постановки для задач устойчивости. Здесь получил распространение метод Галеркина. Например, задачу Эйлера

предлагается решать через вариационное уравнение

рассматривая его на множестве функций, удовлетворяющим всем краевым условиям. Разыскивая приближенное решение

с варьируемыми параметрами получим из (5.2) линейную однородную алгебраическую систему, равенство нулю ее определителя даст оценку критической нагрузки.

Задача (5.1) допускает и другую вариационную постановку — с минимизацией отношения Рэлея. Ведь (5.1) совпадает с задачей о главных колебаниях прямого стержня с продольной или крутильной деформацией. Аппроксимация должна в этом случае удовлетворять лишь геометрическому условию

Обобщение подобных подходов на задачи устойчивости стержней с произвольной геометрией достигается на основе фундаментального принципа виртуальной работы. Рассмотрим малую деформацию при напряженной отсчетной конфигурации. Перемещение поворот — малые величины одного порядка , а силы и моменты представлены суммами типа где . В уравнении виртуальных работ удерживаются все члены второго порядка. При этом используются равенства

Здесь - вектор поворота из (1.8.4). Соответствующее выражение энергии

Подчеркнутые линейные члены в дальнейшем исчезают, а квадратичные члены в уравнении виртуальных работ приводят к постановке

где выражения из вариации заданных и на концах.

Итоговое уравнение (5.5) очевидным образом связано с (4.1), но выражение (5.4) отнюдь не тривиально. Его можно использовать для построения численных алгоритмов как в задачах устойчивости, так и в общем случае наложения малой деформации стержней на конечную.