§ 3. Действие поля напряжений на дислокацию

Рассмотрим тело, содержащее внутри дислокацию с замкнутой линией С. Тело нагружено объемными и поверхностными силами. Обозначим и напряжения и перемещения в теле без дислокации:

Введем далее напряжения и перемещения в теле, обусловленные лишь дислокацией:

Последний интеграл — по контуру вокруг С, причем направления обхода С и вокруг С согласованы правилом правого винта. Очевидно, что в нагруженном теле с дислокацией

Можно считать, что дислокация находится во внешнем поле напряжений .

Далее мы обнаружим, что это поле действует на дислокацию некими силами. В соответствии с представлениями лагранжевой механики следует рассмотреть работу всех сил на виртуальном перемещении дислокации; если

то сила на единицу длины линии дислокации. Вычисление работы упрощается, если силы имеют потенциал; тогда вариация потенциала.

Для рассматриваемого линейно-упругого тела подходящее выражение потенциала

Достаточно очевидно, что вклад внутренних упругих сил и внешних нагрузок определяется потенциалом Но силы иной природы — сопротивление движению дислокации и т. п. — должны рассматриваться отдельно.

Подставив (3.1) в (3.3), получим

Здесь учтено, что Слагаемое не связано с дислокацией, при виртуальном перемещении дислокации Часть потенциала — расходящийся интеграл; не связана с внешним полем. Лишь перекрестный член Охарактеризует действие поля на дислокацию.

Рассматриваемый вопрос неформален, поэтому выскажем еще следующие соображения. Изучая, например, электрическое поле, мы пользуемся пробным зарядом; он должен быть достаточно мал, чтобы вызываемым им возмущением поля можно было пренебречь. Так же и с дислокацией: ее вектор Бюргерса предполагается малым. Собственная энергия дислокации оказывается второго порядка малости. Заметим, что энергия поля точечного пробного заряда — расходящийся интеграл, как и (кратко об электростатике — в гл. 18).

Рис. 36

Итак, действие поля напряжений на дислокацию определяется потенциалом Но вычислить можно лишь при наличии разреза по какой-либо поверхности , натянутой на линию дислокации (рис. 36). При этом следует различать берега разреза значения и на них Преобразуем (3.4):

Подчеркнутый интеграл берется по поверхности ограничивающей тело с разрезом. Но вклад О компенсируется интегралом с Учитывая далее, что на берегах отличаются на вектор Бюргерса, получим

Элементарная интерпретация этой формулы: при создании дислокации по Вольтерра берег перемещается относительно на при этом поверхностные силы совершают работу равную запасенной энергии. По мнению автора, подобные рассуждения хороши как заключительные интерпретации, но не исходные основы — не следует пренебрегать формальными построениями, если они просты и убедительны. Многих ошибок (даже у выдающихся авторов) не было бы при использовании мощного — но не сложного — формального аппарата.

Для определения сил, действующих на дислокацию, следует рассмотреть изменение при виртуальном перемещении линии С. Речь идет о новой задаче — с другой линией определяется разностью энергий на точных решениях. В новой задаче можно использовать поверхность 2, отличающуюся от лишь узкой замкнутой полоской , “состоящей из векторов (рис. 37).

Рис. 37

Вектор площадки на

где орт касательной на С, так что

Подтвердилось предположение (3.2), получена формула Пича-Келера [117] для силы, действующей на единицу длины линии дислокации.

Рассмотрим примеры применения формулы (3.6).

Краевая дислокация. В декартовой системе х, у, z орт касательной а вектор Бюргерса Имеем

Чтобы пояснить этот результат, обратимся к рис. 35. “Лишняя” полуплоскость — в неустойчивом состоянии: сдвигающее напряжение х, “побуждает ее объединиться” с нижней полуплоскость справа; верхняя полуплоскость справа оказывается без продолжения — дислокация передвинулась на период решетки. Так объясняют пластичность металлов.

Взаимодействие винтовых дислокаций. В безграничной среде — две параллельных винтовые дислокации: Первая дислокация — на оси z, а положение второй определяется полярными координатами . Согласно (2.2), первая дислокация создает

напряжения На вторую дислокацию при этом будет действовать сила

Получили центральное взаимодействие. Одноименные дислокации отталкиваются, разноименные — притягиваются.

Параллельные краевые дислокации. Поле те создается дислокацией с и описывается формулами (2.5). На вторую дислокацию с действует сила

Центрального взаимодействия нет, но третий закон Ньютона выполняется, что связано с постоянством энергии при трансляции пары дислокаций в неограниченной среде.