§ 2. Антиплоская деформация среды с трещиной

Любая регулярная функция комплексного переменного содержит в себе решение какой-либо антиплоской задачи статики без объемных сил (§ 4.12), Положим

где положительные константы. Выясним, какой задаче это соответствует.

Комплексная комбинация касательных напряжений

при дает Следовательно, можно говорить о чистом сдвиге бесконечного пространства.

Функция (2.1) имеет две точки ветвления Для обеспечения однозначности сделаем разрез, соединяющий эти точки и препятствующей обходу вокруг каждой из них; пусть он будет отрезком прямой Данный отрезок можно рассматривать как реальный разрез со свободными берегами; согласно (2.2), при а перемещения при этом

различны на верхнем и нижнем берегах разреза.

Итак, (2.1) — это решение задачи о чистом сдвиге бесконечного пространства с трещиной. Наиболее Важным далее окажется вид решения вблизи конца разреза — у фронта трещины. Полагая получим следующие асимптотические формулы :

Величина называется коэффициентом интенсивности (КИН). Далее обнаружим, что формулы (2.3) универсальны, специфика задач заключена лишь в величине

Вернемся к решению (2.1) и представим его как

Первое слагаемое соответствует чистому сдвигу пространства без трещины (сплошная плоскость). Второе же относится к плоскости с разрезом, нагруженной лишь на его берегах: при Важно отметить, что в этой второй задаче

Антиплоскую задачу для произвольных области и нагрузки с прямым разрезом внутри можно решать в два этапа методом суперпозиции. Сначала решаем задачу без разреза; в ней нет сингулярностей, для нее хорош, например, метод конечных элементов. Но при этом на берегах разреза обнаруживаем напряжения - Поскольку в исходной постановке на берегах то добавляем решение второй задачи для области с нагрузкой на берегах.

Если трещина мала и находится глубоко внутри области, вторую задачу можно с достаточной точностью рассматривать для бесконечной плоскости. Постановка такова: найти регулярную в плоскости с разрезом функцию мнимая часть которой принимает заданные значения на берегах разреза и которая на бесконечности ведет себя как гл (следует из (2.4)).

Решение будем искать в виде

и воспользуемся интегральной формулой Коши

Рис. 43

Функция регулярна в области, точка z лежит внутри, интегрирование производится по границе. Для рассматриваемой задачи подходящий контур интегрирования состоит из берегов разреза и окружности большого радиуса (рис. 43). При интеграл по окружности исчезает, Формула (2.5) принимает вид

Значения на берегах неизвестны, но числитель под интегралом все-таки можно найти. Учтем, что нечетно по у (как , в то время как четно): при

Приходим к окончательному результату

формула Л.И. Седова [89].

Рассмотрим асимптотику решения при :

Это полностью согласуется с (2.3), но теперь имеем более общее выражение КИН.