Глава 14. ДЕФЕКТЫ
§ 1. Дислокации Вольтерры
Рассмотрим классическую линейную трехмерную среду 
Как показано в § 4.7, уравнение совместности деформаций (4.7.8) является:
— необходимым следствием существования и 
как однозначной функции места;
— достаточным условием существования и 
в односвязной области.
Вбктор поворота 
и также оказывается однозначной функцией 
при выполнении (4.7.8) в односвязной области.
Рис. 34
Но пусть тело неодносвязное, т. е. содержит (хотя бы одну) трубчатую полость, замкнутую в теле или выходящую обоими концами на поверхность (рис. 34). На замкнутый контур, охватывающий трубку, нельзя натянуть поверхность без выхода из тела; к таким контурам неприменима теорема Стокса о циркуляции.
В теле с трубчатой полостью при выполнении уравнения совместности (4.7.8) формулы Чезаро (4.7.4) и (4.7.5) приводят к следующим соотношениям Вейнгартена для интегралов по контуру вокруг трубки:
Циклические постоянные а и b не зависят от контура — лишь бы он охватывал трубку. Отметим, что определяемые формулами Вейнгартена приращения о и в ассоциируются с кинематикой твердого тела 
перемещение полюса, а — поворот). Однозначность 
требует, чтобы 
равнялись нулю — в дополнение к уравнению (4.7.8).
Если же а или 
не равны нулю, исчезает и 
как однозначное поле. Однозначность можно сохранить, если договориться 
ходить вокруг 
Аналогичная ситуация встречается в теории функций комплексного переменного: функция 
получает приращение при любом обходе точки 
поскольку 0 при этом изменяется на 
Для устранения неоднозначности делают соответствующий разрез, единственное назначение которого — закрыть обход; на берегах разреза значения функции различны.
Решениям уравнений линейной упругости с ненулевыми а или 
Вольтерра дал следующую интерпретацию. В теле с трубчатой полостью делается разрез по некоторой поверхности 2, превращающий тело в односвязное. Далее берега разреза 
сдвигаются так, чтобы разности со 
и соответствовали формулам Вейнгартена (1.1). Убирая — по мере необходимости — лишний материал или добавляя новый, восстановим затем сплошность двусвязного тела некой сваркой. Напряженное состояние тела после такой операции определяется
значениями а и 
но не положением поверхности разреза 
следов разреза не осталось, поля 
гладкие.
Рис. 35
Уточним терминологию: описанная операция называется созданием дислокации, в случае 
дислокация Вольтерры именуется дисклинацией, вектор 
носит имя Бюргерса. Трубчатая полость может иметь сколь угодно малую толщину, в пределе превращаясь в линию дислокации.
Работы Чезаро, Вейнгартена и Вольтерры относятся к началу XX века. Позднее физики-экспериментаторы обнаружили дислокации в другой модели — кристаллической решетке. На рис. 35 показана краевая дислокация в решетке: кристаллическая плоскость в середине — “лишняя”. Край этой плоскости является линией дислокации; это предельно утонченная трубчатая полость — ядро дислокации, — в которой кристаллическая решетка сильно искажена, и модель сплошной среды не имеет места. Справа на рис. 35 — символ краевой дислокации.
Рост кристалла по разным траекториям, приводящий к появлению дислокаций, напоминает аналитическое продолжение комплексных функций. Например, 
сначала определяется как арифметический; ряд Тейлора позволяет распространить функцию в комплексную плоскость в пределах соответствующих кругов сходимости, но последующее аналитическое продолжение приводит к неоднозначности при обходе точки ветвления. Вид разреза в комплексной плоскости не имеет значение — как и конфигурация 
при создании дислокации.
