§ 16. Температурные деформации и напряжения
Прямой подход, столь эффективный при построении одномерных моделей Коссера и Кирхгофа, теряет силу в задачах термоупругости. Необходимо рассматривать трехмерную модель, что может быть реализовано или вариационным путем, или асимптотическим.
Описанный в § 14 вариационный метод целиком переносится на термоупругость — включая задачи с неоднородностью и анизотропией, переменным сечением, динамические — и даже нелинейные. Достаточно в принципе Лагранжа заменить потенциал 
свободной энергией а в принципе Рейсснера — 
на функцию Гиббса 
(§ 6,8), Но при таком подходе сохраняется и единственный недостаток вариационной процедуры — наш произвол в задании аппроксимации по сечению.
Вполне достоверен лишь асимптотический метод расщепления. Выкладки лишь немногим отличаются от приведенных в § 15, В уравнениях баланса сил (15.4) не будет 
но зато в соотношениях (15.7) появятся добавки: 
(с коэффициентами теплового расширения). Решение задачи в напряжениях будет иметь вид 
Формула (15.12) изменится:
новое слагаемое 
соответствует начальной деформации 
Осевое напряжение будет равно
Но самым важным является изменение в моментах; вместо (15,33) получим
Вектор 
выражает всю информацию о температурном поле, которую “чувствует” одномерная модель.
В качестве примера рассмотрим стержень из однородного изотропного материала. При этом 
а задача для 
выглядит так (значки 
и опустим):
Отметим, что а здесь — это 
из (1.2). Вводя функцию напряжений (§ 4.14), преобразуем постановку (16.4):
Учитывая равенства
получим
В случае прохождения оси стержня через центры тяжести сечений, т. е. 
в (16.3) будем иметь
Для произвольного распределения температуры одномерная модель Кирхгофа оказалась в полном согласии с асимптотикой трехмерной задачи — если учесть (16.3).
Библиография
В отличие от других разделов теории упругости, механика стержней скромно представлена в книгах. Преобладает изложение в духе сопротивления материалов, более строгие подходы кажутся многим авторам невозможными или ненужными. Но есть немало интересных статей; соответствующие обзоры можно найти у С. Антмана [118], автора 130] и А.А. Илюхина [34].
