§ 7. Механика относительного движения

До сих пор не ставился вопрос о системе отсчета, все рассматривалось в некой “абсолютной” системе или одной из инерциальных систем (§ 1). Теперь представим себе две системы: “абсолютную” и подвижную (рис. 4, § 2).

В очевидном представлении радиус-вектора частицы

функции или определяют переносное движение, а функции относительное. Наблюдатель, жестко связанный с подвижной системой отсчета, не чувствует изменения ортов Скорость точки для него равна

Выражение называется производной Яуманна.

Дифференцируя (7.1), получим известный закон сложения скоростей

Отметим, что переносная скорость это скорость той точки подвижной системы отсчета, в которой в данный момент находится рассматриваемая частица.

Продифференцируем абсолютную скорость

Получили закон сложения ускорений. Переносное ускорение ускорение соответствующей точки подвижной системы; относительное ускорение — это то, что “видит” подвижный наблюдатель. Нетривиальное третье слагаемое ускорение Кориолиса.

Уравнение Ньютона теперь можно записать в виде

Интерпретация этого: закон Ньютона остается справедливым и в неинерциальных системах отсчета, если к физической силе добавить так называемые силы инерции: переносного движения и Кориолиса .

С силами инерции иногда возникают досадные недоразумения. Не стоит подчеркивать их формальное происхождение, противопоставляя физическим силам. Например, при деформации турбинной лопатки, закрепленной на вращающемся роторе, силы инерции не менее важны, чем давление газовой струи.

Рассмотрим далее вопрос о сложении угловых скоростей. Вращение твердого тела регистрируется в двух системах отсчета: подвижной и неподвижной (рис. 5). Подвижная система (с ортами ) вращается относительно неподвижной (с ортами ) с переносной угловой скоростью Скорость вращения тела (с ортами ) относительно подвижной системы — Докажем, что абсолютная угловая скорость

Рис. 5

В курсах теоретической механики можно найти элементарное доказательство (7.6), основанное на сложении обычных скоростей (7.3). Без ущерба для общности совместим центры триэдров на рис. 5 соответствующими трансляциями. Для скорости произвольной точки тела будем иметь

отсюда следует (7.6).

Но можно для доказательства (7.6) привлечь “более тяжелую артиллерию”. Абсолютное вращение характеризуется тензором поворота переносное — а относительное Очевидно, что

Введем соответствующие угловые скорости:

Здесь относительная скорость определяется теми изменениями, которые “видит” подвижный наблюдатель, т. е. дифференцированием по Яуманну.

Продифференцируем (7.7):

Подчеркнутые слагаемые сокращаются, а оставшиеся ведут к (7.6).

Из (7.6) следует закон сложения угловых ускорений:

Не должно быть сомнений, что относительное угловое ускорение есть производная Яуманна от