§ 6. Четвертый шаг

Здесь понадобится лишь внешнее разложение. Более того: в этом приближении мы не будем искать решения уравнений — будет достаточно лишь условий разрешимости. Напомним, что философия наша такова: разыскиваются лишь главные члены асимптотических разложений, но для полного их определения могут понадобиться условия разрешимости задач для каких-то малых поправочных членов. Об этом говорилось еще во введении. Четыре шага асимптотической процедуры в этой главе о тонкостенных стержнях делаются не ради “дальнейшего повышения точности расчета”, а по необходимости — без этих четырех шагов не найти даже главных членов.

Из общей системы (2.7) имеем

Подчеркнутые члены равны нулю. Осреднив уравнения по толщине и учтя условия получим необходимые условия разрешимости

Два последних равенства можно представить как

На концах сечения, при имеем согласно (4.17) и Поэтому для (6.3) может быть записано свое условие разрешимости

Произведено интегрирование по частям. но эту величину под интегралом можно отбросить благодаря равенству (5.9).

Граничное условие при заслуживает того, чтобы к нему вернуться. Компоненты вектора таковы: концах полоски Казалось бы, можно поставить условие Но это ошибка; автор прошел через нее и был поражен столь нетривиальным нарушением принципа Сен-Венана. Правильное условие удалось задать только благодаря аккуратному применению метода сращивания асимптотических разложений.

Можно получить еще одно важное уравнение. Рассмотрим интеграл

Подчеркнутые члены равны нулю. Взяв из (6.3) и использовав равенство придем к уравнению

Уравнения (6.6), (6.4) и (5.9) образуют систему для трех неизвестных функций По тому, как входят в уравнения нагрузки можно предположить, что (6.4) относится к изгибу, (6.6) — кручению — тогда (5.9) может описывать растяжение. Но это лишь предположения, предстоит еще найти перемещения.