§ 7. Силы в сплошной среде. Тензор напряжений

Поскольку частицы рассматриваемой сплошной среды — материальные точки с трансляционными степенями свободы, то соответствующими обобщенными силами будт обычные векторы сил.

На элементарный материальный объем действует некая сила ; если - массовая сила (действующая на единицу массы), то объемная. Например: силы тяжести, силы инерции при использовании неинерциальных систем отсчета, электромагнитные силы при наличии в среде зарядов и токов.

На элементарную материальную поверхность действует поверхностная сила Это может быть давление, трение, электростатическая сила при сосредоточенных на поверхности зарядах.

В сплошной среде, как в любой механической системе, различают силы внешние и внутренние. Со времен Эйлера и Коши считают, что внутренние силы в среде — это поверхностные силы близкодействия: на любой элементарной материальной площадке внутри тела действует сила Уточним: действует с той стороны, куда направлена нормаль

Вектор называется вектором напряжения на площадке с нормалью Согласно закону о действии и противодействии, меняет знак, если направить в противоположную сторону. (В некоторых книгах последнее утверждение доказывается через баланс импульса материального бесконечно короткого цилиндра с основаниями

В каждой точке среды имеем бесконечно много векторов поскольку через точку проходят площадки любой ориентации. Но оказывается, множество определяется одним тензором второго ранга — тензором напряжений. Рассмотрим содержащийся во многих книгах вывод этого утверждения.

Рис. 8

На поверхности элементарного материального тетраэдра (рис. 8) действуют четыре силы: на наклонной грани с нормалью не суммировать) на гранях в координатных плоскостях, где вектор напряжения на площадке с нормалью и площадью Согласно закону баланса импульса

(отброшенные объемные силы как малые высшего порядка). Учитывая далее геометрические соотношения

( для любой замкнутой поверхности), приходим к знаменитой формуле Коши

Мы получили еще и представление тензора напряжений через три вектора

Отметим смысл компонент в декартовом базисе: проекция вектора на направление При этом диагональные компоненты называются нормальными напряжениями; они положительны при растяжении и отрицательны при сжатии. Недиагональные компоненты — это касательные напряжения.

При обычном наименовании декартовых осей используются обозначения и т. д. для нормальных напряжений и и т. д. касательных.