§ 6. Эффективные модули среды со сферическими включениями

В однородной матрице случайным образом, но достаточно равномерно, распределены сферические включения радиусом а. Получившийся композит на макроуровне будет изотропным, его упругие свойства полностью определяются объемным модулем К и модулем сдвига

Объемный модуль. В качестве представительного объема возьмем сферу такого радиуса чтобы отношение было равно заданной объемной концентрации включений. Рассмотрим первую задачу с тензором тогда Решение можно записать сразу (см. § 14.5):

Содержащиеся здесь три константы находятся из системы

второе равенство выражает непрерывность напряжения

Энергию представительного объема вычислим по формуле Эшелби (5.4). В роли 2 может выступить сферическая поверхность радиусом а Интегрирование по 2 сведется к умножению на площадь

Здесь объемный модуль включения; модули матрицы, связанные соотношением

При малой концентрации включений вывод можно упростить; заменив третье условие в (6.2) асимптотическим и при Тогда сразу находим Определив из и использовав формулу Эшелби, придем к выражению К, отличающемуся от (6.3) лишь отсутствием в знаменателе концентрации С.

Если знаменатель в (6,3) заменить единицей, придем к так называемому правилу смесей. Оно справедливо, например, для эффективной плотности:

Модуль сдвига. В поле перемещений имеем постоянный тензор деформации чистого сдвига Используем сферические координаты, соответствующие геометрии задачи — см. § 3.14. В базисе ее, компоненты перемещения таковы:

Решение общих уравнений в перемещениях можно искать с такой же зависимостью от угловых координат: и т.д. Для функций получается система эйлерова типа, ее общее решение состоит из степенных функций; соответствующие громоздкие выкладки приведены в При решение ограничено, при непрерывны а при и превращается в (6.4). Вычислив энергию по формуле Эшелби, получим эффективный модуль [45]. Для жесткого включения оказывается (формула Эйнштейна).