§ 6. Эффективные модули среды со сферическими включениями
В однородной матрице случайным образом, но достаточно равномерно, распределены сферические включения радиусом а. Получившийся композит на макроуровне будет изотропным, его упругие свойства полностью определяются объемным модулем К и модулем сдвига
Объемный модуль. В качестве представительного объема возьмем сферу такого радиуса
чтобы отношение
было равно заданной объемной концентрации включений. Рассмотрим первую задачу с тензором
тогда
Решение можно записать сразу (см. § 14.5):
Содержащиеся здесь три константы находятся из системы
второе равенство выражает непрерывность напряжения
Энергию представительного объема вычислим по формуле Эшелби (5.4). В роли 2 может выступить сферическая поверхность радиусом а
Интегрирование по 2 сведется к умножению на площадь
Здесь
объемный модуль включения;
модули матрицы, связанные соотношением
При малой концентрации включений вывод можно упростить; заменив третье условие в (6.2) асимптотическим и
при
Тогда сразу находим
Определив из
и использовав формулу Эшелби, придем к выражению К, отличающемуся от (6.3) лишь отсутствием в знаменателе концентрации С.
Если знаменатель в (6,3) заменить единицей, придем к так называемому правилу смесей. Оно справедливо, например, для эффективной плотности:
Модуль сдвига. В поле перемещений
имеем постоянный тензор деформации чистого сдвига
Используем сферические координаты, соответствующие геометрии задачи — см. § 3.14. В базисе ее,
компоненты перемещения таковы:
Решение общих уравнений в перемещениях можно искать с такой же зависимостью от угловых координат:
и т.д. Для функций
получается система эйлерова типа, ее общее решение состоит из степенных функций; соответствующие громоздкие выкладки приведены в
При
решение ограничено, при
непрерывны
а при
и превращается в (6.4). Вычислив энергию по формуле Эшелби, получим эффективный модуль
[45]. Для жесткого включения оказывается
(формула Эйнштейна).