§ 11. Тензорные функции

В известном представлении о функции как отображении аргумент х и функция у могут быть тензорами любого ранга. Рассмотрим хотя бы скалярную функцию тензора второго ранга . В каждом базисе имеем функцию девяти числовых аргументов при переходе к новому базису действия над могут изменяться лишь так, чтобы результат сохранился Дифференцирование выглядит так:

Тензор называется производной по его контравариантные компоненты в базисе

Вычислим производные главных инвариантов тензора. Для первого инварианта имеем

Рассмотрим второй инвариант:

(второе из этих равенств следует из (7.2) с диагональной матрицей смешанных компонент).

Обращаясь к третьему инварианту, возьмем след (10.12)

Дифференцируя это равенство, в первом слагаемом будем иметь (см. (3.7)). Учитывая далее (11.2) и (11.3), получим

Но согласно опять-таки поэтому

Последняя формула легко запоминается

Допустим теперь, что функция зависит не вообще от В, а лишь от его инвариантов По правилу дифференцирования сложной функции

Скалярная функция называется изотропной, если она не чувствительна к повороту аргумента: для любого тензора поворота Симметричный тензор В вполне определяется тройкой инвариантов и угловой ориентацией главных осей (они же ортогональны). Ясно, что изотропная функция симметричного аргумента является функцией лишь инвариантов она дифференцируется согласно (11.6), где транспонирование излишне.