§ 8. Малые колебания
Если статика линейно-упругой системы описывается уравнением (6.3), то в динамике будем иметь
где А — симметричная и положительная 
кинетической 
Изучение колебательной системы обычно начинают с нормальных, или главных колебаний, т. е. свободных синусоидальных колебаний вида 
Постоянные столбцы 
называются формами или модами колебаний; 
— собственные частоты — этот набор находится из матричной задачи на собственные значения
Опираясь на симметрию и положительность 
можно доказать, что:
— все 
вещественны и положительны;
— формы, отвечающие различным частотам, ортогональны в следующем смысле
Однако это же можно доказать и иначе, опираясь на теорему взаимности работ (6.7). Ведь (8.2) по форме совпадает с уравнением статики (6.3), если нагрузкой считать 
. В одном “статическом состоянии” 
в другом — 
Подставив это в (6.7), придем к ортогональности (8.3).
Поскольку формы определены с точностью до постоянного множителя, их можно нормировать, заменяя (8.3) следующим
Будучи линейно независимыми, формы образуют базис. Разложение произвольного столбца будет таким
В виде такого разложения (8,5) можно искать и решение задачи о вынужденных колебаниях. Функции времени 
можно найти снова с помощью теоремы взаимности. В первом “статическом состоянии” 
во втором 
Равенство работ выглядит так:
Получили уравнения гармонического осциллятора с общим решением в виде интеграла Дюамеля
Здесь предполагается, что все собственные частоты 
Нулевые частоты возможны лишь при вырожденности матрицы С, когда система допускает жесткие смещения. При этом характеристическое уравнение 
имеет нулевой корень кратности, равной числу степеней свободы без деформации. Свободная система, допускающая произвольные трансляции и поворот, имеет шесть “нулевых частот”.
Обзор теории малых колебаний закончим рассмотрением отношения Рэлея
Это функция столбца 
Если 
значение 
равно 
Разложив 
по формам, получим
откуда следует, что минимум 
равен
Не зная первой формы 
но располагая ее приближенным представлением 
получим приближенное значение 
. В этом состоит популярный метод оценки первой собственной частоты.
Библиография
В длинном списке книг по общей механике можно найти труды не только механиков-профессионалов [22, 48, 49, 71, 76], но и физиков-теоретиков широкой ориентации 
Автор особенно рекомендует курс Ф.Р. Гантмахера [18] с компактным, но полным изложением основ.
