Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Векторы

Упоминание о тензорах может отпугнуть читателя, естественно избегающего ненужных сложностей. Но тензоры вводятся лишь благодаря своему замечательному свойству инвариантности, т. е. независимости от систем координат. Знакомство с тензорами можно начать с воспоминаний об обычных векторах.

Пусть произвольный вектор; он вполне определяется своей величиной (модулем) и направлением в пространстве. Введем какую-либо декартову систему координат с ортами осей и нумерация такова, что тройка — правая). Разлагая вектор по базису, будем иметь

Помимо известных обозначений “равно по определению”, “скалярное умножение” и др., здесь использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу: наличие такового в одночлене означает соответствующую сумму. Более двух раз в одночлене индекс встретиться не может. Неповторяющийся индекс называется свободным и в обеих частях равенства должен совпадать. Вот примеры грамотной записи:

Следующие же равенства содержат недопустимые нарушения:

Вектор является инвариантом, т. е. не зависит от системы координат. Рассмотрим его в двух декартовых системах — с ортами Имеем связь

Матрица косинусов при транспонировании обращается:

(доказательство:

Разложение вектора (1.1) в новом базисе и учет связей (1.2) приводят к закону преобразования компонент вектора

Этот закон можно использовать для определения вектора следующим образом. Пусть в каждом базисе задана тройка чисел и при переходе к новому базису она преобразуется согласно (1.4); тогда эта тройка определяет инвариантный объект — вектор

Помимо самого вектора, инвариантом — но скалярным — является его модуль: